Физическая лаборатория - Портис А.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, для диска достаточно большой массы следует ожидать колебательного движения. Как аналитически описать движение диска? Если диск имеет инерциальную массу, мы должны переписать (2) таким образом, чтобы показать существование разности между силой пружины и силой, возникающей из-за вязкости масла. Эта разность сил ускоряет диск:
Ма = М%~М^ = Р-уи. (5)
Для того чтобы найти кинематику движения диска, подставим (1) в (5). Исключая силу /\ получим
57
Прежде чем пытаться решить уравнение для диска, имеющего массу (или лучше для груза на пружине с трением), рассмотрим решение задачи при отсутствии затухания. Если мы положим в уравнении (6) у~ 0, что эквивалентно сливу масла из цилиндра, мы получим
АГ§? + ** = 0. (7)
Это знакомое нам уравнение простого гармонического осциллятора. Решение этого уравнения имеет вид
х~х0сов о>/. (8)
Функцию х({), показанную на рис. 3, можно представить как вертикальное смещение точки, движущейся по окружности радиуса Хо с угловой скоростью со. Попытаемся теперь доказать, что (8) является решением (7), и определим угловую частоту (?>.
я
Рис. 3-
Дифференцирование тригонометрических функций показано на рис. 4.
Дифференцируя (8) по времени, получим d
v = 'a7fx(icos tot — — tox0 sm tot > (9)
a = di*X° C0S ^ ~~dt (—aX°S'n ~ — w2*° COS <0'' ^^
Подставляя (10) в (7), получим
—Mco2A4>cos (ot-^kxQcos o>r=0.
Мы видим, что решение (8) удовлетворяет уравнению (7) и определяет угловую частоту
т = КЩ. (11)
Теперь займемся изучением эффекта затухания. Если затухание не очень велико, то его действие на движение наиболее просто выяснить, рассмотрев выражение для энергии. Энергия воздушного демпфера равна сумме кинетической энергии ?"кнн диска и
58
потенциальной энергии Епаг растянутой пружины:
E^UMv\ (12)
X
EmT = -$Fdx^±kx\ (13)
о
Если мы подставим (8) в (13), а (9) — в (12), мы получим
Ек^/,М<й*х1вт*^, (14)
?"пот = у2 kx\ cos2 at = V« Mm% x% cos2 (at. (15)
Чтобы получить полную энергию, которая постоянна, сложим уравнения (14) и (15):
?„ол„ = Екш + ЕП0Т = V, Mtfx*. (16)
В действительности полная энергия остается постоянной только,
Рис. 4. Рассмотрим точку Р с декартовыми координатами [х, у) и полярными координатами (Р. Ф) («).' очевидно, что jc=p cos ф, ff=p sin <р. При возрастании полярного угла на dtp происходят соответственные изменения dx и dy декартовых координат (б): dx=pd{cas Ф), di/= =prf(sin ф). Если й?Ф мало (я), можно сразу написать выражение для dx: йх=—(р</ф) sin q>, а также (г) для dy. dy=(pd(p) совф- Сравнивая выражения для dx и dy, получаем соотношения pd (cos ф)=—(р^ф) sin ф и pd (sin <р)=(р^ф) cos ф. которые после сокращения на р дают правила дифференцирования тригонометрических функций: d d ,
—— cos ф=—sm ф и -г— sin ф=СОЯ ф.
Оф йф
если мы пренебрегаем затуханием. Если рассмотреть затухание, мы увидим, что силы вязкости ртводят часть энергии колеблющейся
59
системы в масло, где она появляется в виде тепла. Скорость, с которой энергия рассеивается силами трения, дается формулой
-^(Ево^ = -уи\ (17)
Если силы трения очень слабы, так что они не могут вызвать слишком быстрого затухания, мы можем с правой стороны подставить усредненное за цикл значение потерь энергии. Заметим, что среднее значение кинетической энергии (обозначенное угловыми скобками), как раз равно половине полной энергии:
<?кин> = < V, в> = V, <?Полн>. (18)
Подставляя среднее значение скорости <аа> вместо V2 в (17), получим
'аг[ (-^полн) = (-^полн)¦ 09)
Из уравнений (16) и (19) вытекает
-^х\~ 2х0-^х0 -- -щ х%. (20)
Деля на л:0, мы, наконец, получаем
dxo у
dt 2М
х0. (21)
Это уравнение затухающей экспоненты. Его решение может быть записано в виде
хо = хо{0)е-?"2М. (22)
Подставляя (22) в (8), мы можем написать конечное решение для осциллятора с небольшим затуханием
х = х0 (0) е~ Vх cos Ш, (23)
где х=2М/у — постоянная времени затухания амплитуды, а т — ^к/М—угловая частота. Мы должны подчеркнуть, что уравнение (23) описывает колебательное движение только тогда, когда значение затухания, приходящегося на угол в один радиан, мало:
е~ № ^ 1, или сот > 1. (24)
Произведение у от обычно называется добротностью осциллятора и обозначается <Щ (чтобы не перепутать с электрическим зарядом Q). В П. 1.6 дано точное решение уравнения (6) с использованием комплексных переменных. Полученный результат выглядит так:
Слабое затухание: (у < 2 У ЙЛ1),
со = \ЩМ УХ—уЧММ, (25)
Ь4- _ <26>
Сильное затухание: (7>2|/йЛ1), ю = 0,
Промежуточный случай, когда у=2У ЙЛ1 (что дает со=0 и 1/т = |/^/Л1), называется критическим затуханием. Это наименьшее значение затухания, для которого мы получим чистую экспоненту. Заметим, что для критического затухания постоянная времени т равна 1/2я периодов незатухающих колебаний. Теперь вернемся к первоначальному вопросу. Как сделать электрическую модель простого гармонического осциллятора? Сравнивая уравнение (6) с уравнением для #С-цепочки
М^+уи + кх~0, (29)
Ш + ±С1^0, (30)
мы видим, что нам необходим элемент схемы, напряжение на зажимах которого пропорционально скорости изменения тока:
