Физическая энциклопедия Том 4 - Порохов А.М.
Скачать (прямая ссылка):
699
СТРАННЫЙ
о.
>' Фраитальнаяиразмериюеть. Всё разнообразие статк-стич. свойств случайного сигнала, порождаемого дн-намич. системой Oo С. а., может быть описано, еслн известно распределение вероятности состояний системы. Однако получить (и использовать) это распределение для конкретных GHCTeM со С, а. чрезвычайно сложно (хетн бы потому, что плотность распределения инвариантной вероятностной меры всегда сингулярна). Это одна из причин, по к-рой для описания С. а. и сопоставления его свойств со свойствами реального сигнала используют разл. рода усреднённые характеристики. Нанб. широко используемыми являются всевозможные размерностные характеристики, в частности франта ль-ная размерность (см. также [2—-4})
с = Iim [— InAr (e)/lnej, е-»0
(2)
где 6 > 0, нек-рый фиксированный параметр, N\e) — чксло н-мериых шаров диаметра е, покрывающих С. а. дкнамнч. системы с «-мерным фазовым пространством. Определённая согласно ур-ккю (2) размерность; с не может, очевидно, превышать п., ио может быть меньше п (п-мерцые тары могут оказаться почти пустыми). Для «обычных» множеств ур-ние (2) даёт очевидные результаты. Так, для множества из к точек 7V(e) — А, с = 0; для отрезка дликы L прямой линин N(в) ~ Lit, с — 1; для куска площади S двумерной поверхностк Ar(E) ~ ~ 5/е2, с — 2 и т. д. Неравенство размерности целому числу, соответствует сложному геом. устройству. Для генератора, изображённого на рис. І, размерность соответствующего аттрактора системы (1) в широком диапазоне кзмененкя параметров остаётся заключённой в интервале (2,3 ч- 2,6).
С физ. точки зрения, осн. «достоинство» фрактальной размерности С. а. в том, что она даёт оценку эфф. чнсла степеней свободы, формирующих установившийся (после окончания всех переходных процессов) стохасткч. сигнал, ролее строгое соотношение между размерностью с"ичшсло^степеней свободы т имеет вид: т ^ {2с 4- 1)2.
Бифуркации странных аттракторов. Пути рождения стохастич. автоколебаний при иаденении управляющего параметра (напр., коэф. усиления в генераторе рнс. 1) зависят от конкретных свойств исследуемой системы. Одиако как н предельный цнкл, к-рый может родиться лншь несколькими типичными способами, так и С. а. обладают сравнительно небольшим числом наиб, типичных возможностей возникновения [1,4—6].
Сценарий Фейгенбаума — цепочка би-фуркаций удвоения периода устойчивого предельного цикла. Если при изменения управляющего параметра нериоднч. движение теряет устойчивость, то вместо него может возникнуть др. устойчивое движение (напр., квазиперкодическое, лежащее на притягивающем двумерном торе) либо предельный цнкл удвоенного периода; последнему случаю соответствует переход мультипликатора через (—I). В n-мериом фазовом пространстве поведение траекторий отображения Пуанкаре в окрестности претерпевающего бифуркацию удвоения периода предельного цикла определяется ф-цией, иапр., /(*), график к-рой похож иа параболу. Эта ф-цня описывает связь между координатами в направлении собств. подпространства оператора линеаризации отображения Пуанкаре, отвечающего мультипликатору (—1) (/' -{- 1)-го н /-го пересечений траекторией системы секущей Пуанкаре: Xj+1 = f(xj). Возникшему устойчивому предельному цкклу удвоенного периода отвечает двуперкоднч. траектория отображения /. При дальнейшем изменеинн параметра бифуркации удвоения периода бесконечно повторяются, а бифуркац. •качения, вапр., Я* накапливаются к крнтич. точке Ям, отвечающей возникновению С. а. В соответствии со сценарием Фейгенбаума имеет место универсальный (не зависящий от конкретной системы) закон
(Хсо — ^п)/(^“оо ^П+l) ~
где б — 4,6692... — универсальная константа Фейгенбаума (см. Фейгенбаума универсальность).
Родившемуся С. а. при фиксированном А > X00 отвечает неск. интервалов на оси х; участки между этими интервалами содержат притягивающиеся к аттрактору траектории, а также 2т-периоднческие (относительно отображения /), неустойчивые предельные циклы, начиная с нек-poro т0 и меньше. Прн увеличении параметра А скорость разбегания траекторий иа С. а. увеличивается, и он «разбухает», последовательно поглощая неустойчивые предельные циклы периодов 2m+1t 2m, ... При этом число отрезков, отвечающих аттрактору, уменьшается, а их длины увеличиваются. Возникает как бы обратный каскад последоват. упрощений аттрактора. Рис. 6 иллюстрирует этот процесс для
Рио. в. «Обратные бифуркации» удвоения периода, иллюстрирующие разбухание аттракторе, возникшего по сценарию Фейгенбаума,
/.Гц
дьух последних бифуркация. На рнс. 6а «л^нта» аттрактора совершает 4 оборота, после бифуркации она становится двух оборотной и затем, после следующей бифуркации, замыкается иа себя всего через один оборот, предварительно перекрутившись (66 в 6<з).
П е р е м е,щ а ем о с т., Во мн. системах рри прохождении управляющего параметра (скажем, X) через бифуркац. значение А* переход к стохастич. автоколебаниям внешне осуществляется как редное нарушение регулярных колебаний «стохастич. всплесками». Прн этом длительность ламинарной (регулярной) фазы тем больше, чем меньше надкрнтнчность л — А* > 0. С ростом же надкриткчности длительность регулярной фазы , сокращается! Эта картина интерпретируется следующей эволюцкей осн. объектов в фазовом пространстве, определяющих бифуркации (предельные циклы, сепаратрисы седловых периодич. траекторий и пр.). В момент бкфуркацин сливаются и исчезают отвечающий автоколебаниям устойчивый предельный цикл и седловая пернодкч, траектория. При малой надкри-тичностн все траектории, стремившиеся ранее к устойчивому предельному цкклу, долгое время сохраняют характер своего поведения, т. е. демонстрируют движение, близкое к периодическому. С течением времени [f ~ (X — A*) 1^*] они «замечают», что старый аттрактор исчез, и, оставаясь рядом с сепаратрисой (также исчезнувшей) седлового предельного цикла, уходят в др. часть фазового пространства. Если в докритич. области снстема была глобально устойчива (т. е. существовал только одни прктягкваюший объект), то этн траектории через нек-рое время вновь попадают в окрестность исчезнувшего предельного цикла. Бели при этом в докритнч. области значений параметров сепаратриса седлового цнкла была вложена в фазовое пространство достаточно сложным геом. обрааом (образовывала бесконечное число складок — «гофрировалась», содержала гетероклинич. траектории др. седловых циклов и т. п.), то есть переходный процесс демонстрировал нерегулярное поведение, то время попадания в окрестность исчезнувшего цккла уже А > А* будет являться случайной величиной. Далее повторяется ламинарная фаза, предшествующая новому, «турбулентному», всплеску и т. д.
