Физическая энциклопедия Том 4 - Порохов А.М.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 1. Странный аттрактор в системе, описываемой уравнениями типа (1).
Системы с периодич. автоколебаниями, матем. образом к-рых является предельный цикл, удаётся исследовать достаточно полно с помощью методов качественной теории дифференц. ур-иий. Построение же теории стохастических колебаний, заключающееся, в частности, в определеннн (предсказании) характеристик и свойств С. а. по заданным параметрам системы, чрезвычайно затруднительно даже для трёхмерных систем. Подобное построение удаётся провести, однако, в тех случаях, иогда в системе существует малый параметр, позволяющий с помощью отображения Пуанкаре перейти от анализа траекторий в трёхмерком пространстве к исследованию траекторий отображения.
Пример [11. Подобно тому, как генератор Ванде р-Поля является простейшим и канонкч. примером системы, демонстрирующей цериодич. автоколебания, схема, представленная на рис. Ia и определяющая ке-скольио усложнённый генератор Ван-дер-Доля, может служить одним иа простейших примеров генераторов стохастич. автоиолебаиий. От генератора Ваи-дер-Поля с контуром и цепи сетки эта схема отличается лишь включённым в контур последовательно с индуктивностью туннельным диодом нли др. иеликейным элемеи-
Im 1
-V—а
1 ¦
0 Va V
Ряс. 2. Принципиальная схема (о) простого генератора шуиа— генератора Ван-дер-Поля, в сеточный контур которого добавлен туннельный диод. Вольт^амлерная характеристика (б) нелинейного элемента — туннельного диода.
том с вольт-амперной характеристикой, представленной ка рнс. 2 б. Пока ток / в контуре в напряжение на сетке V малы, туннельный диод не оказывает существ, влияния на колебания в нонтуре, и они, как к в обычном ламповом генераторе, нарастают. Прн этом через туннельный днод течёт ток /, а напряжение на нём определяется ветвью а характеристики T(V). Когда же ток / достигает значення Im, происходит почти мгновенное переключение туннельного диода (быстрота переключения связана с малостью ёмкости C1) — скачком устанавливается напряжение Vm. Затем ток через туннельный диод уменьшается и Происходит его обратное переключение с участка P на а. В результате двух переключений туннельный дкод почти полностью поглощает поступившую в контур анергию к колебания начинают скова нарастать. (При рассмотрении работы схемы характеристику лампы можно считать линейной; это оправдано тем, что в интересующем иас режиме колебания ограничиваются нелинейной характеристикой Туннельного дкода.) Т. о., генерируемый сигнал U(t) представляет собой последовательность цугов нарастающкх колебаний; окончание каждого цуга характеризуется скачком напряжения V(t).
Для количественного описания работы схемы исходные ур-ння
LC 4f = (MS - TC) I + С (V — Г),
= 4г = '-'*1>Ю
преобразуют к безразмерному виду:
х = Zhx X У —gz, у= — х, Iiz = x — f (г), (1)
где X=Iffm, *= VlVn, у =UVRHmVL, x = tVLC, /(г) = I
тв(Утг)Мт — нормированная характеристика диода. Здесь р. = 9С\1С — малый параметр (и. < 1). Поэтому все движения в фазовом пространстве (рис. 3)
Система имеет одно неустойчивое (пр» xh > gif [tS)] состояние равновесия х = у — г = О типа оеддо. Tpa-еитории, лежащие иа поверхности А, раскручиваются вокруг неустойчивого фокуса и в нонце концов достигают края поверхности А. Здесь происходит срыв тоф-ни, отображающей на фазовой траектории состояние системы (т. н. изображающей точки) по линии быстрых движений на поверхность В. Пройдк по В, изображающая точка срывается обратно на поверхность А и попадает в окрестность состояния равновесия — начинается новый цуг нарастающих колебаний. Построенная картина движения соответствует реализации, пред-отавлеиной на рис. 4, и её спектру мощности.
Отображение Пуанкаре, соответствующее ур-иням (I), njm fi = 0 кусочно можио описать непрерывной ф-цнеи, график к-рой приведён иа рнс. 5. Лкиейный участок I с коэф. угла наклона, болыпкм единицы,
Л, дБ
О 2 /, кГц t, ме
в. 4. Спектр мощности сигнала, генерируемого схемой, ар ставленной на рис. 2а, к осциллограмма этого сигнала.
описывает раскручнванке траектории на поверхности медленных движений А, соответствующей нарастанию колебаний в контуре. Участок II описывает этап возвращения траекторий, сорвавшихся с поверхности А иа поверхность В, обратно на А (см. рнс. 3). Все траектории, лежащие вне основания обозначенного пунктиром квадрата, входят в него прк асимптотически
Рис. 3. Поведение траекторий в фазовом пространстве системы (1) ари (і = 0.
Pm., 5. График функции /(ж), описывающей динамику схемы рис. 2 при |1 = 0*
можно разбить на быстрые переключення дкода (прямые * = const, у = const) и медленные, при к-рых напряжение на дноде «следит» аа током; соответствующие траекторки лежат ва поверхностях А и В [х = /(г), /'(z)>0), отвечающих участкам а и J характеристики диода.
больших аначениях времени, т. в. область D =~ ногло-щающая и содержит аттрактор. Все траектории внутри этой области неустойчивы, т. о. аттрактор является странным. При малых значениях р > 0 свойства сто-хастичиоста движений (иак ноиазывают численные исследования) сохраняются.