Физическая энциклопедия Том 4 - Порохов А.М.
Скачать (прямая ссылка):
В многомерных системах размерность странных аттракторов может быть миого меньше размерности фазового пространства, что соответствует частичной синхронизации степеней свободы системы.
Пути иоаникиовения стохастических колебаний [12, 13}. Последовательности бифуркаций (сценарии, пути), приводящие к возникновению С. и. при изменении параметров системы, могут быть беснонечно разнообразны, однако элементарных бифуркаций или их последовательностей, содержащихся в этих сценариях, не так много.
Рассмотрим вначале режимы «мягкого» возникновения стохастич. автоколебаний. Оси. бифуркации в этом случае представлены на рис. 4. Это — рождение тора из предельного цикла при .потере им устойчивости, бифуркация удвоения периода, слияние устойчивого и седлового цинлов и их исчезновение, сопровождающееся воэииниовеиием странного аттраитора, сложные деформации («гофрирование») тора и его разру-
692
CTOX ACTM1
CTOXA CTI
шенне, сопровьлцающёеся возникновением большого числа гармоник и субгармокик в спектре колебаний.
Для «жёсткого» реяйша возникновения С. к. характерно превращение цепрктягивающих гомоклинкч. структур в' фазовом' пространству, образовавшихся в результате потери устойчивости простыми аттракторами, в странный аттр^куор.
Рнс. 4,
Стохастические колебания в распределённых системах [14] — неупорядоченное поведение не только во времени, ио к в пространстве. Степень неупорядочен-ностк этих движений связана с числом независимых степеней свободы, формирующкх это движение.
Йркмер подобного неупорядоченного движения распределённой гамкльтоцовой системы — стохасткч. движение солитона, описываемое нелинейным Шрёдингера уравнением с гармонич. потенциалом:
Ч,і = !('Ухх+п(х,*)Ч'+!'Г}г'Г)-
(5)
696
'Для «медленных» переменных, определяющих координаты центра солктоиа, в одномерной ситуации получается ур-кие движения, совпадающее с (I). Т. о., один из механизмов стохастизации волнового поля связан с формированием локализов. образования (солитона) и его хаотич. блуждания в физ. пространстве, подоб-
ного нерегулярному движению изображающей точки в фазовом пространстве нелинейного осциллятора (1).
В диссипативных распределённых системах незатухающие С. к. возможны лкшь прк налички источника энергий (цоїокц массы йлк тепла в гндродкнамнч. течениях, иакачкй в лазерах, пост, нли перкодкч. магЦ. поле при войбуяэденкн спиновых волн н ті Д )- Установившиеся сто^ас+нч. пульсации в распределённой дйс-сипативиой системе, к-рым соответствуют конечномерные; аттракторы, есть Стохастич. автоколебания. При не слишком больших числах Рейкольдса черты гидро-динамич. турбулентности описываются Движениями иа конечномерном странном аттракторе, размерность к-рого обычно растёт с ростом чисод Рейнольдса.
Лит.: l)V'an dfer PolB., Vaq -der MarkJ., Frequency demultiplication, «Nature», 1927, v. 120, p. 363; 2) R i-k itake. Т., Oscillations of a system of disc dynamics, «Proc. Camb. Philos. Soc.», 1958, v. 54, Jsft I, p. 89; 3) Алексеев А. С., Двухпозиционный регулятор температури с зоной опережения, в сб.: Памяти А. А. Андронопа, М., 1955; 4) II у-а н к а р е А., Избр. труды, т. 2, М., 1972; 5) А н о с о в ft. В., Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривийны, «Тр. Мат. ин-та АН СССР», 1967, т. 90; 6) С и и а й Я. Г,, Марковский разбиения и У-диффеоморфиамы, «Функциональный анализ и его приложения», 1968, т. 2, в. 1, с. 64; 7) Рабинович М. И.,Сущик М. М., Регулярная и хаотическая динамика структур в течениях жидкости, «УФН», 1990, т. 160, с. 3: 8) Л и х те н б ерг А., Либерман М., Регулярная и стохастическая динамика, пер. с англ., М., 1984; 9) Бунимович Л. А. и др., Эргодическая террия гладких динамические систем, в кн.: Итоги науки и техники. С он ременные проблемы математики. Фундаментальные направления, т. 2, М., 1985; .JO) С и Hfi й Я. Г., Че.рнов Н. И., Энтропия газа твердых сфер по отношевдаю к, группе пространственно-временных сдвигов, в сб,: Труды семинара ітм. И. Г. Петровского, в. 8, М., 1982, с. 218; 11) АлекШеев В. М., Яковов н М. В., Добавление. Символическая динамика и гиперболические динамические системы, в кн.: Б о у а н P,, Методы сим-воличесной динамики, пер. с англ.. М., 1979; 12) Рабинович М. И., Трубецков Д. H., Введение в теорию колебаний и волн, М., 1984; 13) Шустер Г., Детерминированный хаос, пер. с англ., М., 1988; 14) Рабинович М. И., Стохастические автоколебания и турбулентность, «УФН», 1978, т. 12б, с. 123. В. С, Афраимоеич, М. И. Pafnwoeutt1
СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ — урацнеиия, описывающие поведение реализаций случайных процессов, волн и полей под действием случайных скл и флуктуирующих параметров, при случайных начальных или граничных условиях. Анализ С. у. состоит в определении статистич. характеристик их решений, напр, матем. ожидания, корреляц. ф-ции, плотности вероятности.
Первоначально С. у. был к предложены П. Ланжеве-ном (P. Langevin) для Описания броуновского движения (см. Ланжевена у равнение) і С. у. используют. прн изучении флуктуаций в радиотехн. устройствах и квантовых генераторах, прк анализе вибраций, в теории связи и адаптивного управления, нри исследовании распространения воли в случайно-неоднородных средах и т. д. Случайные процессы обычно описывают системой обыкновенных дифференц. С. у.
