Физическая энциклопедия Том 4 - Порохов А.М.
Скачать (прямая ссылка):
k= Iim Iim
tT">во
In C(TtE)
с= Iim Iim
T-*-сю е->0
In С(Т ,8)
—In 8
Величину h наз. топологич. энтропией, с — фрактальной размерностью аттрактора. Сигналу (реализации, наблюдаемой), с к-рым имеет дело исследователь, в эффективном фазовом пространстве (возможно, бесконечномерном) исследуемой системы отвечает предельное множество соответствующих траекторий. Его размерность естественно называть размерностью реали-
зацкн, а топологич. энтропию системы, рассматриваемой лишь иа этом предельном множестве, можно назвать топологич. энтропией реализации. Существуют алгоритмы определения этих величин, к-рые позволяют вычислить их для сигналов, генерируемых реальными процессами [7} (течение жидкости, энцефалограммы и пр.). Конечность этих величин свидетельствует о динамкч. характере исследуемого процесса, а сами оии характеризуют «степень стохастичности* системы.
Стохастичность гамильтоновых систем. Стохастич. свойства демонстрируют даже очень простые гамильтоновы системы, иапр. маятник под действием внеш. пернодич. силы:
а:—|—зіпаг^Ьзіпв, б=ш.
Фазовое пространство этой системы трёхмерно и очевидно, что нач. фазовый объём сохраняется. Если в такой скстеме (в определ. области параметров) рассмотреть каплю «фазовой жидкости» в пространстве {(х, х, 0)}, то можно обнаружить, что через иек-рое время оиа, сложным образом деформируясь, заполнит определ. область в фазовом пространстве, к-рая и будет соответствовать стохастич. движениям (рис. 1).
Рис. 2.
систем, обладающего ие только эргодичностью, ио и более сильными статкстич. свойствами (перемешиванием, спадением автокорреляц. ф-ции и т. п.), позволяет построить дииамич. модели, на основе к-рых могут быть получены оси. законы статистич. механики без предварит, гипотез. Это — модели типа бильярда Синая {9], газа Лоренца {10} и пр.
Стохастические автоколебания. В системах с диссипацией, напр, в системе
i-f-Aror-j-sinx—6sin0, 0=ш,
(2)
фазовый объём не сохраняется — он сжимается, поэтому можио было бы ожидать, что движение системы может лишь упроститься. Одиако стохастич. поведение в таких системах сохраняется; лишь незначительно (в зависимости от величины к) уменьшается размерность стохасткч. множества, к-рое в данном случае является странным аттрактором. Стохастич. автоколебания реализуются не только в простой модели (2) неавтономного осциллятора, но и практически в любой нелинейной колебательной диссипативной системе с периодич. склой, если её амплктуда не слишком мала, даже если потенциал осциллятора имеет лишь одни минимум (в фазовом пространстве иевозмущёиной системы одно положение равновесия), как в системе, описываемой ур-нием
6=са
(3)
(нелинейный резонанс с учётом затухания). Существование стохастич. автоколебаний в системе
Рнс. 1.
Однако наряду с этой областью перемешивания (или областью стохастичности) в фазовом пространстве (1) всегда будут существовать иач. условия, и-рым отвечает регулярное периодичесиое или квазипериодическое поведение. Особенно наглядно это видно иа секущей
плоскости 8 = O0 = O0 -{--j- 2л» (иа рис. 2 показаны следы фазовых траекторий— траектории отображения Пуанкаре). Регулярным движениям отвечают двумерные торы, иа к-рых лежат траектории, соответствующие условно периодич. движениям (иа рис. 2 — это замкнутые кривые). В области хаоса эти торы разрушены. Очевидно, в трёхмерном фазовом пространстве (и в че-тырёхмериом иа трёхмерной поверхности пост, эиер-гик) областн хаотического и регулярного поведения разделены. Такие системы наз. системами с разделённым фазовым пространством [8).
Бели фазовое пространство имеет размерность больше четырёх, то геом. запретов, гарантирующих разделение хаотичесних и регулярных движений, уже не существует и области стохастич. поведения в разных частях фазового пространства могут соединяться друг с другом отреэнами одной и той же траектории. Обычно это происходит вдоль сепаратрис (стохастич. диффувия, или диффузия Арнольда [8)).
Возникновение стохастичности в гамильтоновых екстемах типа (1) определяется значением амплитуды внеш. силы, что имеет простой фкз. смысл. При достаточно больших амплитудах появляется большое число гармоник осн. частоты колебаний, иа каждой из к-рых воэможек нелинейный резоиаис; при дальнейшем увеличении амплитуды области резонанса в фазовом пространстве, соответствующие этим движениям, перекрываются (т. н. перекрытие резонансов Чирикова). Обнаружение стохастич. поведения гамильтоновых
JT-—*4F(1—ЛГ2)+г3=б8ІЦ0, 0=w,
(4)
описывающей (с учётом нелинейной реактивности), в частности, синхронизацию колебаний, означает, кроме прочего, и то, что при переходе в области параметров через границу режима захватывания могут возникнуть ие только биения, ио и сложные колебания, ничем, це отличимые от случайных. На рис. 3 приведены аттракторы систем, описываемых ур~ннями (3) и
(4) при соответствующих значениях параметров.
Движения на странном аттракторе — установившиеся стохастич. автоколебание. Подобно перйодич. автоколебаниям, матем. обрааом к-рых явлнется предельный цикл, осн. характеристики установившихся движений (спекгр колебаний, размерность, энтропия и др.) иа странном аттраиторе ие зависят от нач., условий. Нач. условия сиааываются лишь иа хараитере переходного процесса. Несмотря иа то, что странный аттрактор состоит из неустойчивых траектории, т. е. движение рядом с иаждой из них происходит лишь конечное время,' однако переходы с одной неустойчивой траектории на другую происходят таким образом, что движение системы осуществляется вдоль траектории, тоже принадлежащей странному аттрактору [11].