Физическая энциклопедия Том 4 - Порохов А.М.
Скачать (прямая ссылка):
Метод моментов. Пусть пц — выборочные
моменты, ті =? Vj; /TV, а і |xt-(e) моменты ф-ции нлот-
Tj »
ностн распределения, цДа) == ^dxxl р(х\а). В методе момептов выбирают1 в качестве оценки параметров а решение в(дг) системы ур-НДЙ p-i(o) = THi. Оценки в методе момептов состоятельны, асимптотически песмеще-йы, но не являются асимптотически эффективными, X2-M е х> о д. Если объём выборки дг велик и данные хп сгруппированы в гистограмму, то для оценки параметров а используют, х*~метод, являющийся частным случаем метода иаим. квадратов. Пусть Yi — число наблюдений, попавших в ї-капал гистограммы, а По) — нх о'жиДаемое число:
««+і
Yi(a)=N J ?Іжр(л |о).
Xj
В качестве оценки параметров а берут значение а(У), соответствующее минимуму- квадратичной формы
Ot^JilYl-YlianVYliah
I
либо модифицированный ха“метоД J
Оценки в ха*мет°Де и модифицированном ^-методе состоятельны, асимптотически нормально распределены и асимптотически эффективны. Своё название эти методы получили по той причине, что ррн болыпкх Yi (приближение нормалвігого распределения) Ф(а = а) распределено по х®-расдррделепию с числом степеней свободы к = L — I — 1, где L — число капалов гистограммы, I — число параметров.
Интервальное оценивание состоит в отыскапни интервала [OitO2], к-рьійґ с заданной вероятностью р содержит истинное аиачение параметра а. Др. словами, нужно найти такой интервал (аг*,а2] (как ф-цию вектора
наблюдений дг), к-рый «накроет» с вероятностью В истинрое значепне а прн данном значении х. Это т. в. доверительный интервал с вероятностным содержанием P (нли коэф. доверия Р). Такое определение неоднозначно, его обычно доопределяют требованием минимальности длины среди всех интервалов с коэф. доверия р.
> Пусть распределение р(х| а) зависит от одного параметра а и а(дг) — к.-л. точечная оценка а, ф-ция плотности вероятности к-рой равпа ?(а|а). Тогда центр, доверит, интервал определяется как решение ур-ний
а(х) оо
J deefelei)--^*= J daq{a\a2).
QlX)
Такой доверит, интервал может и не быть минимальным. Одна ко, если точечная оценка а(д?) асимптотически эффективна, то при больших N этот интервал будет близок к минимальному.
Более общий подход к получению доверит, интервалов заключается в поиоке такой ф-цни от оценки и параметра, распре деление к-рой не зависят от искомого параметра. Напр., пусть вектор оценок в распределён по многомерному Гаусса распределению ' CO средним а н матрицей вторых моментов и. Тогда Квадратичная форма Ф(л,л) = (о — a)D(a — а) распределена по закону X2CO (см' Распределение), к-рое пе зависит от а. Задаваясь вероятностью ^ тоуо, что Ф(я находим Ap и доверит, область для а: Ф(а,а) = к0,
имеющую вид гиперэллипсоида с центром в точке в. Этот пример имеет практкч. применение, т. к. асимптотически, при больших W1 мп. методы оцениваимя дают нормально распределённые оценки параметров.
Ненараметрнческое оценивание. В этом случае ие делают к.-л. предположений о плотностк ф-ции распределения. В . качестве точечной оценки часто используют гистограмму.. В этом методе оценивания числовую ось, на к-рой определены хп, делят на ряд областей Tj Q = 1,2,..., А:), называемых каналами гистограммы. Тогда Pn(X) задают константами pj в каждой область Tj, причём pj = C(N)^gj(Xn). Здесь C(N) — коэф.
нормировки, gj(x) — индикаторная ф-ция области гу.
... «*>-{ о: ЙЗ:.
Более формально оцепкй ф-ции плотности вероятности записывают в виде
к N
Pn(X) = N-1^ Jgj(xn)gj(x). і= 1 п— 1
Гистограмма является простой в вычислит, плане, по смещённой и несостоятельной оценкой. Поэтому используют более сложные, по состоятельные оценки, иапр. метод ближайших соседей (см. Непараметриче-ские методы статистики). В качестве точечной оценки ф-ции распределения можио взять выборочную ф-цию распределения:
[ О , х<хх,
Pn(x)= j *IN, хп<х^
Xn+U
I l , х>хм,
'где подразумевается, что X1,...,xN расположены в порядке их возрастания. Эта оценка оказывается несмещённой и состоятельной. Ф-цкя распределения Р(х) допускает и интервальную оценку. Рассмотрим статистику Dn = max I Pjq(x) — J, для к-рой асимптотич. распределением является Iim F(N llDfl > г) =
= 2^(-^),-1exp(—2i^z). Т.к. это распределение, не
*=I
аавнситот Р{х), можно вычислить для к-рого вероятность maxlPjvW — ^(aOl равна Р, и задать доверит, зону для Р{х): ,>
Pn(z)—1ty<P(z)<PN(x)+dP'
Считается, что асимптотич. распределение справедливо при N > 80.
Лит.: M и to опольскиЙ А. К., Техника статистических вычислении, 2 изд., М., 1971; Pa1O С. Р., Линейные статистические методы и их применения, пер. с англ., М., 1,968; Кендалл М., Стьюрт А., Статистические выводы к >свя-аи, пер. с англ., М., 1973; Статистические методы а-экспериментальной физике,, пер. с англ., М., 1976.
В. П. Жигунов, С. В. Клименко.
СТАТИСТИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ — см. Равновесие статистическое.
СТАТЙЧЕСДЙЙ СКИН-ЭФФЁКТ — !концентрация "•Маковых линий (постоянного тока) вблизи поверхности алектропного проводника, помещённого в сильное магн. поле Н. С. с.-э. наблюдается при низких темп-рах, когда осуществляется условие WcT » і, где Wc — циклотронная часпіота электронов, а т-1 — частота столкновений электронов в объёме проводпш&і. Это означает, что время свободного пробега электрона Bfo много раз больше периода обращения по орбите. Пр/и этом токовые линии концентрируются в слое Т'олщипой порядка радиуса электронной орбиты в маги, поле г#’ = где vF — фермиевсКая скорость. В отличие 0І скин-эффекта в перем, поле, когда весь ток сконцентрирован в приповерхностном слое, ЦрИ С. с.-э. плотность пост, тока j при удалении в глубь образца стремится не к пулю, а к значению, характерному для массивного образца, когда можно пе учитывать столкновения электронов с границами обр&зца.
