Физическая энциклопедия Том 4 - Порохов А.М.
Скачать (прямая ссылка):
Для частиц с полуцелым спином волновая ф-цня должна менять знак при перестановке любой пары частнц, поэтому в одном квантовом состоянии не может находиться больше одной частицы (Паули принцип). Кол-во частнц с целым спнном в одном состоянии может быть любым, но требуемая в этом случае неизменность волновой ф-ции при перестановке частнц н здесь приводит к изменению статистич. свойств газа. Частицы с полуцелым спином описываются Ферми — Дирака статистикой, нх называет фермионамн. К фермно-нам относятся, иапр., электроны, протоны, нейтроны, атомы дейтерня, атомы 3He. Частицы с целым спином (бозоны) описываются Бозе — Эйнштейна статистикой. К ним относятся, напр., атомы Н, 4He, кванты света — фотоны.
Пусть ср. число частнц газа в единице объёма с импульсами, лежащими в интервале dp, есть npgdp/h3, так что Лр — число частиц в одной ячейне фазового пространства. Тогда из распределения Гиббса следует, что для идеальных газов фермиоиов (верхний знак) и бозонов (инжннй зиак)
пр={ехр[(е—ji)/fe7’]±l}-1. (16)
В этой ф-ле е = рг/2т — энергия частицы с импульсом р, (X — хнм. потенциал, определяемый из условия постоянства числа частнц N в системе:
h~ag^npdp—NjV.
Ф-ла (16) переходит в ф-лу распределевня Больцмава (13) прн T » (NjV)*^h2/mk; величина справа наз. темп-рой вырождения.
В случае фермиоиов, каи и должио быть, лр < 1, поэтому частицы ферми-газа и прн T=O обладают отличными от нуля импульсами, поскольку в состоянии с нулевым импульсом может находиться только одна частица. Точнее, прн T — 0 для ферми-газа лр = 1 внутри ферми-поверхности — сферы в импульсном пространстве с радиусом р0 = H(Gn1NjgV)tZ*', вие этой сферы Ttp = 0. Прн конечных, но низких темп-рах пр меняется от 1 внутри сферы до нуля вне сферы постепенно, причём ширина переходной области ~ mkTjp0. Величина Лр для ферми-газа иак ф-ция от энергии в изображена схематически иа рнс. I (е0 = р6/2т). Пин изменении
Рио. 1. Функция распределения Ферми — Дирака.
темп-ры газа меняется состояние частиц только в этом переходном слое, поэтому теплоёмкость ферми-газа при низких темп-рах пропорциональна T и равна: с = (gnN/QV^mkT/h3.
В бозе-газе прн T = 0 все частицы ваходятся в сос-тоявин с вулевым импульсом. Прн достаточно низких темп-рах в состоянии с р = 0 находится конечная доля всех частнц; эти частицы образуют т. и. бозе-эйнштей-новский конденсат. Остальные частицы находятся в состояниях с р 5* 0, причём нх число определяется ф-лой (16) с (Li = 0. Прн темп-ре Te = (N/gV)'^Z,3ha/mk в бозе-газе происходит фазовый переход. Доля частнц с нулевым импульсом обращается в нуль, Бозе — Эйнштейна конденсация исчезает. Схематически ф-ции
Pp k j-АГ _
\
\
*0 \
распределения Маисвелла, Ферми — Днрака и Бове — Эйнштейна (при T > Tc) изображены ва рис. 2.
Рис. 2. Сравнение функций рас-* пределенвя Максвелла (М.), Ферми — Дирака (Ф.— Д.) в Бозе — Эйнштейна (Б.— Э.).
є
Особым случаем применения статистики Бозе — Эйнштейна является равновесное эл.-магн. излучение, к-рое можно рассматривать как газ, состоящий нз фотонов. Энергия фотона связана с его импульсом соотношением 8 = рс, где с — сиорость света в ваиууме. Число фотонов не является заданной величиной, а само определяется нз условия термодинамич. равновесия, поэтому их распределение по импульсам даётся ф-лой (16) с ц. = О (причём 8 — рс). Т. о. получается ф-ла Планна для спектра равновесного (чёрного) излучения (см. Планка закон излучения).
Квазичастицы. Вблизи абс. нуля темп-р гл. вклад в статнстич. сумму вносят слабовозбуждёниые квантовые состояния, близкие по энергии к основному. Вычисление энергии осн. состояния является чисто квантовомеханич. задачей, предметом квантовой теории многих частиц. Тепловое движение в таиих условиях можно описать как появление в системе слабо-взаимодействующих квазичастиц (элементарных возбуждений), обладающих энергией е н импульсом (в кристаллах — квазннмпульсом) р. Зная зависимость г(р), можно вычислить зависящую от темп-ры часть термодинамич. ф-ций по ф-лам для идеального ферми -нли боэе-газа в зависимости от статистики квазичастиц. Особенно важно, что бозевские квазичастнцы с малыми р можно рассматривать как кванты длинноволновых колебании, описываемых макроскопич. ур-ння-ми. Так, в кристаллах (и бозе-жндностях) существуют фоионы (нванты звука), в магветиках — магноны (ивавты колебаний магн. момента).
Особые типы ивазичастнц существуют в двумерных и одномерных системах. В плоской крнсталлич. плённе нх роль играют дислокации, в плёнках He — вихревые нити, в полимерных нитях—солитоны н домбиные стенки. В трёхмерных телах этн объекты имеют большую энергию и не вносят вклада в термодинамич. ф-цни,
Неидеальиые вырожденные газы. Исследование свойств таких газов прн условии малости газового параметра т] представляет существ, интерес. В фер-миевском газе поправка к энергии осн. состояния оказывается Спектр квазичастнц в случае газа с от-
талкиванием между частицами совпадает (с точностью до поправок ~tj*/») со спектром свободных частиц. В спеитре газа с притяжением между частицами возникает экспоненциально малая (по параметру rj1/») щель, что связано со сверхтекучестью (см. также Сверхпроводимость), н появляется фононная ветвь. Энергия осн. состояния, равная нулю у идеального бозе-газа, составляет ~(Л7 V)V»rjV»jV7lVm для нендеаль-ного. Спектр квазичастнц при малых р является фо-нонным, а при больших р переходнт в спектр свободных частнц (см. также К вантовая жидкость).
