Физическая энциклопедия Том 4 - Порохов А.М.
Скачать (прямая ссылка):
555 ' ^w(x,p)dxdp=i. (3)
Из (2) и (3) видно, что wdxdp можио рассматривать как вероятность того, что система находится в элементе dxdp фазового пространства.
Бели система не находится в состоянии термодинамич. равновесия, ф-ция распределения зависит, кроме х и р, от времени i. В этом случае следует считать, что интервал усреднения мал по сравнению со временем релаксации.
Введённой таким образом ф-цни распределения можно дать и др. истолкование. Для этого рассмотрим одновременно большое число одинаковых систем и примем, что каждая точка в фазовом пространстве изображает состояние одной такой системы. Тогда усреднение по времени можно понимать как усреднение по совокупности этих систем, нлн, как говорят, по статистическому ансамблю.
Распределения Гиббса. Проведённые до сих пор рассуждения носили формальный характер, т. к. нахождение ф-цни распределения, согласно (1), требует знания всех X и р во все моменты времени, т. е. решения ур-ний движения с соответствующими нач. условиями. Осн. положением С. ф. является утверждение о возможности из общих соображений определить эту ф-цию для системы, находящейся в состоянии термодннамич. равновесия. Прежде всего, исходя нз сохранения числа частиц при движении, можно показать, что ф-ция распределения является интегралом движения системы (см, Лиувилля теорема).
При движении замкнутой системы её энергия не меняется, поэтому все точки в фазовом пространстве, изображающие состояние системы в разные моменты времени, должны лежать иа нек-рой гиперповерхности, соответствующей иач. значенню энергии Е. Ур-ние этой поверхности имеет внд Н(х,р) = Е, где Н{х,р) — Гамильтона функция системы. Движение системы нз мн. частиц иоснт крайне запутанный характер, поэтому с течением времени точки, описывающие состояние, распределятся по поверхности пост, энергии равномерно (см. также Эргодическая гипотеза). Такое равномерное распределение описывают ф-цией распределения
г»(х,р)=АЬ[Н{х,р)— Е], (4)
где б[#(ж,р) — Е\ — дельта-функция, отличная от нуля только при H = Е, А — постоянная, определяемая нз условия нормировки (3). Ф-ция распределения (4), соответствующая микроканоническому распределению Гиббса, позволяет вычислять ср. значения всех физ. величин по ф-ле (2), не решая ур-нин движения.
Прн выводе выражения (4) предполагалось, что единственная сохраняющаяся величина, от н-рой зависит w,— это энергия системы. Разумеется, сохраняются также нмпульс и момент импульса, но этн величины можно исключить, предположив, что рассматриваемое тело заключено в неподвижный ящик, к-рому частицы могут отдавать импульс и момент.
Фактически в С. ф. обычно рассматривают не замкнутые системы, а макроскопич. тела, являющиеся малыми макроскопич. частями, илн подсистемами, к.-л. замкнутой системы. Ф-ция распределения для подсистемы отлична от (4), но не завноит от конкретного вида остальной части системы, т. и. термостата. Для определения ф-цни распределения подсистемы необходимо проинтегрировать ф-лу (4) по импульсам и координатам частиц термостата. Такое интегрирование можно произвести, учитывая малость энергии подсистемы по сравнению с энергией термостата. В результате для ф-ции распределения подсистемы получается выражение
w(x,p)=exp{[F—H(x,p)]/kT}, (5)
величина T в этой ф-ле имеет смысл темп-ры. Нормировочный коэф. exp(FfkT) определяется из условия нормировки (3):
exp (—F[kT) — Z= j*exp {— H(x,p)jkT]dxdp. (fi)
Распределение (5) наз. каноническим распределением Гиббса нли просто канонич. распределением (см. Гиббса распределения), а величина Z — статистич. интегралом. В отличие от мнкроканонич. распределения, в канонич. распределении энергия системы не задана. Состояния системы сосредоточены в тонком слое конечной толщины вокруг энергетнч. поверхности, соответствующей ср. значению энергии, что означает возможность обмена энергией с термостатом. В остальном в применении к определ. макроскопнч. телу оба распределения приводят по существу к одним и тем же результатам. Различие состоит лишь в том, что при использовании мнкроканонич. распределения все ср. значення оказываются выраженными через энергию тела, а при использовании канонич. распределения— через темп-ру.
Еслн тело состоит из двух невзаимодействующих частей 1 и 2 с ф-цнямн Гамильтона H^ и H2, то для всего гела H — Hi -}- H2 я, согласно (5), ф-ция распределения тела разбивается ва произведение ф-цнй распределения для каждой из частей, так что эти частя оказываются статистически независимыми. Это требование вместе с теоремой Лнувилля можно положить в основу вывода распределения Гиббса, не обращаясь к мнкроканонич. распределению.
До сих пор мы говорили о системах, описываемых классич. механикой. В квантовой механике роль ф-ции распределения играет статистический оператор (статистич. матрица) р(х,х'). Ср. значення физ. величин выражаются через него ф-лой, аналогичной ф-ле (2) классич. теории:
/=J I/р(*,
где / — квантовомехаинч. оператор величины /, действующий ва координаты х. Характерной особенностью квантовой механики является дискретность энерге-тич. спектра системы конечного объёма. Вероятность того, что подсистема находится в квантовом состоянии с энергией En, в термодинамич. равновесии определяется ф-лой, аналогичной (5):
