Физическая энциклопедия Том 4 - Порохов А.М.
Скачать (прямая ссылка):
(^.'П)=1“е«е'Пе=11Г11+ъа'П2
(по повторяющимся индексам подразумевается суммирование).
В качестве бааиса в пространстве С. ранга 1 можно выбрать собств. векторы
MJH-(S)
матриц (lIi) о8 и (V2)O3, допускающих естеств. интерпретацию квадрата вектора спина и его г-проекции; собств. значениями будут V, = 4,(1 + V2) И ±ч, соответственно. Поэтому С. ранга 1 описывают частицы со спином 1I2-С. старших рангов строятся по аналогии с теорией тензоров. Контраварнантиым спинором ранга г иаз. набор 2Г (комплексных) чнеел Ob1, аг, преобразующихся по закоиу:
|«i...«г ..........ar^ga' .gar |Р«. ¦ ¦ • ¦ Pr
Pl Pr ’
где — элементы матрицы g(n, ф). В алгебре С. можно ввести операции, аналогичные операциям в тензорной алгебре: поднятие и опускание индексов, свёртка
и т. д. С. ?а‘... ранга г наз. симметрическим, если
его компоненты не меняются прн любой перестановке индексов. В пространстве симметрических С. реализуются все неприводимые представления группы вращений веса /, 21 = г.
Спннор в M4. Два простейших неприводимых (полу-спииорных) представления *SO(3, 1) двумерны н обозначаются столбцами и |а соответственно с непунктирными н с пунктирными индексами. Прн пространственных поворотах преобразуются (как и С. в R3) с помощью матрицы (2), а при специальных Лоренца преобразованиях — гиперболич. поворотах на угол ф в плоскости (х0, «) — с помощью матрицы h:
h(n,q>)— ch(<p/2)—n(o)sh(cp/2).
Пунктирные С., |а, преобразуются с помощью комплексно сопряжённых матриц g* и h* соответственно.
Кососнмметрическая матрица е ¦ • позволяет опре-
Сф
делить компоненты пунктирных С. При пространственной инверсии (JT0, дг) —»(х0, — дг) пунктирный н непунк-
тириый С. переходят друг в друга: »¦ i|. , | i|“.
а а
Включение инверсий означает переход от собств. группы Лоренца S0(3, 1) к группе Лоренца О (3,1). Поэтому простейшее спинориое представление 0(3, 1) четырёхмерно и образовано биспинором ® ?. (® — знак
a q
тензорного произведения), обычно записываемым в виде столбца:
-(е)-(t )¦
Инвариантные и ковариантные билинейные формы в пространстве биспипоров строятся с помощью Д и рака матриц. -у**, у- = О, 1, 2, 3, = Y0V1V2V3 и определения дн-
раковского сопряжения ij5H = Y0 («+* означает эрмитово сопряжение). Так, формы фф, —*
есть соответственно скалйр, псевдоскаляр и 4-вектор относительно преобразований из 0(3, 1).
Помимо дираковского вводят маиорановское сопряжение фм = фтС (Т — означает транспонирование), где С — матрица зарядового сопряжения. Майора-н о в с к н м С. наз. С., для к-рого \)эм пропорционален г|)д (множитель пропорциональности зависит от представления матриц Дирака); в частности, в майо-рановсиом представлении (где Yt* и Otiv = [y“, VvI вещественны) компоненты майорановского С. вещественны.
Вейлевским С. наз. С., удовлетворяющий соотношению \|>+ = (1/2) (/ -\- V6)^+ или = (1/2)(/ —
— Y6Jq5-I ГД0 I — единичная матрица (соответственно правый н левый С.). Число его компонент также вдвое Меньше обычного; ОН ИСПОЛЬЗуеТСЯ В ТеОрИЯХ C KU-ральной симметрией.
В пространстве биспиноров можно задать линейное релятивистски инвариантное ур-ние, описывающее частицы со спином 1Z2 (спииорные частицы), с ненулевой массой — Дирака уравнение, с нулевой массой — Вейля уравнение.
С., связанные с многомерными пространствами, находят применеине в теории тяготения, Калуцы — Клейна теории, теории суперструн н т. д. Многообещающие применения теории С. связаны с теорией твисто-ров.
Спинорные многообразия. Глобально спииорное поле можно задать не на любом многомерном пространстве. Существование таких пространств (спинорных многообразий, см. Расслоение) определяется топологич. инвариантами.
Первые упоминания двузначной природы группы вращений восходят и Л. Эйлеру (L. Euler) (параметризации группы вращений углами Эйлера). В работах О. Родригеса (О. Rodrigiies), У. Гамильтона (W. Hamilton), А. Кэли (A. Cayley), У. Клиффорда (W. Clifford) и др. были получены важные результаты, нашедшие естеств. продолжение в рамках теории С. Построение спинориых представлений в инфинитезимальной
форме проведено Э. Картаном (Е. Cartan, 1913). Дальнейшее развитие теории С. инициировалось открытием спина электрона (1925) и появлением ур-ний П. Дирака (P. Dirac) и Г. Вейля (Н. Weyl). Спинорное исчисление было построено в работах Б. Ваи-дер-Вардена (В. van der Waerden) и др. Термин «С.» предложен П. Эреифестом (P. Ehrenfest, 1929).
Лит.: Ландау JI. Д., JI и ф ш и ц Е. М., Квантовая механика, 4 изд., М., і 989; ГельфандИ. М., M и н л о с Р. А., Шапиро 3. Я., Представления группы вращений и группы Лоренца и их применения, М., 1958; Ван дер Варден В., Принцип запрета и спин, в кн.: Теоретическая физика 20 века, М., 1962; Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., П и-таевский Л. П., Релятивистская квантовая теория, ч. 1, М., 1968; Дирак П., Спиноры в гильбертовом пространстве, пер. с англ., М., 1978; Пенроуэ Р., Риндлер В., Спиноры и пространство-время, пер. с англ., [т. 1], М., 1987; [т. 2] — Спиноры и пространство-время. Спинорные и твисторные методы в геометрии пространства-времени, пер. с англ., М., 1988; Budinich P., Trautman A., The epinortal chessboard, Springer, N. Y., 1988. M1 И. Монастырский.
