Физическая энциклопедия Том 4 - Порохов А.М.
Скачать (прямая ссылка):
и=2ітіехр^-^-іі\г -}- і ^4ї)2—*Ф0|х
Xsech[2T](ic—yf—ж0)|. (8)
Здась ц и v — амплитуда н скорость С. [в отличие от С. (4), эти параметры являются взаимно независимыми], Ф0 и х0 описывают фазу н положение С. в нач. момент.
В. Е. Захаров и А. Б. Шабат показали (1971), что ур-иие (7) также является точно интегрируемым в рамках метода обратной задачи рассеяния с помощью вспо-могат. переопределённой системы линейных ур-ннй типа (5), (6) для многокомпонентной (векторной) ф-ции Hr. Следствием точной интегрируемости является наличие точных многосолитонных решений. Как и в случае ур-ния КдФ, эти решения описывают чисто упругие столкновения С. с сохранением формы, амплитуды и скорости. Единств, следствием столкновения являются фазовые сдвиги — изменения параметров Фв » и, х0.
Одномерное ур-ние синус-Гордо-и а. Точно интегрируемым с помощью вспомогат. линейных ур-иий типа (5), (в) для векторной ф-ции Y является также синус-Гор до на ур-ние
Ф//—Ф**-|-аіпФ=0. (9)
Это ур-иие встречается во мн. фяз. задачах, в к-рых аигармонич. потенциал нелинейного само воздействия волнового поля периодичен по полевой переменной Ф(x,t). Примерами являются длинные волнй’в джо-зефсоиовских переходах, волки зарядовой плоткоети в одномерных металлах, непинейные волны намагни-
ченности в легко плоскостных и слабых ферромагнетиках и т. д.
Ур-ние (9) имеет солитонные решения двух разл. типов: т. н. кннки н бризеры. К и н к
Фк=аи^{ехр[ст(д:—vt—?о)(1—иг)~Ч%\) (10)
представлнет собой уединённую волну, обладающую топологич. зарядом (2я)_1[Фк(.г — оо) — Фк(* =
= — оо)] = Ст, движущуюся CO скоростью V (у* < 1).
К инк имеет смысл т. н. флаксона — кванта магн. потока в теорин длинных джозефсоиовскнх переходов, доменной стенки — в ферромагнетиках, носителя заряда — в одномерных металлах и т. д. Точные решения ур-ния (9) описывают чисто упругие столкновения любого чнсла кинков (10), сопровождающиеся фазовыми сдвягамн, т. е. изменением параметров х0, характеризующих положение кинков в нач. момент. В частности, при столкновении двух кинков CO скоростями U1, 1? (^1 > уа) фазовые сдвнгн равны:
(Aze)1= 2УТ1? In УТПЦа,
' 0/1 г і V (н-®,)( і -vt)-V <!+*,)< і-Vi) ’
(Ax0)3=-J/ / (1-^) (д*о)і-
Видно, что фазовые сдвиги не зависят от топологич. зарядов кинков.
Как и для С., описываемых ур-ниями (3) и (7), полный фазовый сдвиг любого кинка при рассеянии на совокупности остальных кинков в точности равен сумме сдвигов, порождённых его столкновениями с каждым нз остальных кинков по отдельности.
Наглядно два кинка, разделённых расстоянием Lt много большим их характерных размеров ~ (1 — и2)-,/% можио представлять как две релятивистские частицы, взаимодействующие с потенциалом U(L) ~ C1Ggexpf-L).
Т, о., киикн с одинаковыми зарядами Ct1 = ста отталкиваются, с противоположными (Ct1 = — ст,) — притягиваются.
Пара кииков с противоположным зарядом может образовать связанное осциллирующее состояние — т. н. б р и з е р, представляющий собой 2-й тип точного со-литоиного решения ур-иия (9):
®fcr=4arctg{tgn,cos[(t—*0)cosn]sech(;r~:c0)smji,]} (11)
[движущийся бризер может быть получен из (11) преобразованием Лоренца]. Параметр jx, изменяющийся в пределах 0 < Jx < я/2, характеризует зиергню связи S брнзера, определённую разность энергий пары удалённых покоящихся (v = 0) кииков (10) и энергии бризера (11): S = 32sm3(fi/2). Столкновения бризеров друг с другом и с кинками также являются чисто упругими и сопровождаются аддитивными фазовыми сдвигами. В реальных системах бризер ие наблюдается вследствие диссипации.
В пределе Ф2 1 подстановка
Ф(ас ,f)=u(.r ,*)ехр(—i*)-bw*(:r,*)exp(ff)
преобразует ур-яие (0) в нелинейное ур-нне Шрёдян-rePa (?) (с верх, знаком). При этом брнзер (11) (прн ц < 1) преобразуется в покоящийся С. (8) с амплитудой Г) = Jl-
Многомерные солитоиы. Двумерный С. является решением точно интегрируемого уровня Кадомцева — Петвиашвилн
-^-(ut—buux—uxxx)=—Buyyt (12)
описывающего ноино-звуковые волны в плазме, капиллярные волны на поверхности «мелкой» жндности и т. д. Точное решение ур-ния (12)
“(*•».0=2-~ lo[4(v+v*)-a+|3c~i^—3vaf|*], (13) 573
солитон
сояигон
содержащее произвольный комплексный параметр v, описывает устойчивый двумерный С. (т. и. ламп), движущийся CO скоростью V = ;(Vx = 31V I 3, vy = — 6Imv. При (х8 у2) -* оо решекие (13) убывает
как (х2 + у2)-1» т. е., в отличие от одномерных С. (4),
(8), (10), (Il)1 характеризующихся экспоненциальным спадом профнля при |д?| —» оо, двумерный С. (13) имеет степенную асимптотику. Столкновения любого числа лампов (13) являются чисто упругими, причём, з отличие от одномерных С., фазовые сдвиги тождественно равны нулю.
Понятие С. можно обобщить н ва случай неинтегри-руемых нелинейных волновых ур-ний. Сюда можно отнести почти интегрируемые систе-м ы, отличающиеся от уикверсальных интегрируемых ур-ний малыми возмущающими членами, что имеет место в реальных физ. системах. Теория возмущении для почти интегрируемых систем также основана на методе обратной задачи рассеяння [Д. Kayn (D. Каир), 1976; В. И. Карпман н Е. М. Маслов, 1977]. В почти кнтегрируемых системах динамика С. более богата; в частности, малые возмущения могут порождать не-упругне взакмодействия С. и миогосолнтонные эффекты, отсутствующие в точно интегрируемом случае.
