Физическая энциклопедия Том 4 - Порохов А.М.
Скачать (прямая ссылка):
Одномерные солнтоиы. Уединённая волна на поверхности жидности конечной глубнны впервые наблюдалась в 1834 Дж. С. Расселлом (J. S. Russell). Матем. выражение для формы этой волны было получено в 1854 Ж. В. Вуссинеском (J. V. Boussinesq):
h=H +
4 Hx1
ch*[(x/H)(x—e(l-|-6x*)t—зс»)]
выведенное в 1895 для описания эволюции волновою пакета на поверхности жид хости малой глубины. Ур-иие КдФ является универсальным ур-нием, описывающим одномерные нли к вазно дно мерные среды, в н-рых конкурируют слабая квадратичная нелинейность [члеа виих в ур-нии (3)] и слабая линейная дисперсия [член иххх в ур-нин (3)]. Оказалось, что оно описывает также и колебат. поведение цепочки атомов, а в пределе малой амплитуды и большой длины волны имеет солитоиное решение:
Здесь H — иевозмущённая глубина жндностн,
* — ~V— скорость длинных волн малой амплитуды, л0 — положение центра С., к > О — безразмерный параметр, характеризующий амплитуду, размер и скорость С. Ур-иие для одномерного С. было выведено в 1895 Кортевегом и де Фрисом. В холодной замагничеиной плазме и в плазме без маги, поля с горячими электронами также могут распространяться уединённые волны, аналогичные С. на поверхности жидкости (Р. 3. Сагдеев, 1957). С. были использованы Р. 3. Сагдеевым при построении теории бесстолкновителъных ударных волн в плазме, возникающих, напр., при обтекании Земли солнечным ветром.
Моделируя иа ЭВМ поведение цепочки атомов, связанных нелинейными упругими силами и описываемых ур-ниями движения
2х
Ch*[}<(x—4x*t—хс)]
И)
В зависимости от соотношения указанных выше двух факторов система переходит из одного состояния uB другое, а в случае их взаимной компенсации возникает С.
Из численного решения ур-ния (3) [Н. Забуски (N. Zabusky) и М. Крускал (М. KruskaI), 1964] следует, что С. обладают значит, устойчивостью и при столкновениях рассеиваются упруго, сохраняя свою форііу и амплитуду. Анализируя это явление, М. Крускал, Дж. Грин (G. Green), Ч. Гарднер (С. 'Gardner) и Р. Миура (R. Miura) открыли в 1967 фундам. метод обратной задачи рассеяния, позволивший явиб проинтегрировать ур-ице (3), к-рое можно представить как условие совместности переопределённой системы линейных ур-ний для вспомогат. ф-цин Y:
T„+(X*+u)T=Ot
V,=4T,«+6u Tjc^3UxT.
(5)
(6)
(I)
Ур-ние (5) представляет собой стационарное ур-ши Шрёдингера с потенциалом — u(x,t). Если потенциал удовлетворяет ур-иию КдФ (3), то дискретные собств. значения ур-ния Шрёдингера не зависит от времени а непосредственно связаны с С. Еслн ур-ние (5) имеет N
2 2
дискретных собств. значений А. = — х (n = 1, ...,У),
Tl п
то при t —* ±: оо будут присутствовать N С. вида (4) с параметрами х = Xn. В общем случае в решении содержится также осциллирующая «несолитонная часть».
Решение ур-ния (5), определённое методом обратной задачи рассеяния, имеет вид:
1F-*exp(jtar)-f-r(X,*)exp(—ikx) прн я—>-|-оо,
1V-»а“1(Х,)ехр(гА.г) при X-)-—оо.
В чисто солитонном случае r(k,t) = О
а(М = П <г*п)1-
н—1
iV-солитонное решение описывает рассеяние N С. друг на друге. Это рассеяние происходит упруго с сох-2
ранением амплитуд и , сдвигаются лишь аснмптотяч.
п
координаты С. При парном столкновении С. с ампли-
2 2 2 г
тудамн х ,х (х > х ) С. приобретают сдвиги
ISl 2
Xn—^(Яц+і #n) F(xn •••n-l)» (2)
где F(I) = ^ + — номер атома в цепочке,
Э. Ферми (Е. Fermi), Дж. Паста (J. Pasta) н С. У лам
(S. Ulam) в 1954 обнаружили аномально медленную
стохастизацию в этой системе. Система не термализова-лась (в ней не устанавливалось термодинамич. равновесие), а периодически возвращалась в исходное состояние с иач. распределением. При исследовании этой проблемы выяснялось, что в непрерывном пределе она переходит в Кортевега — де Фрнса ур-нне (КдФ)
572
uXXX—О, (3)
<4*»>1= 1^1“ "(х‘Л!Г' (Ax0)a=-^-(Ax0)11
т. е. быстрый С. приобретает положительный, а медленный — отрицательный сдвиги. При взаимодействии N С. полный сдвиг каждого С. равен алгебраич. сумме сдвигов от парных соударений, т. е. отсутствуют много-солитонные взаимодействия. Столкновения С., описываемых ур-ниями КдФ, можно наглядно представлять как взаимодействие нерелятивистских частиц, между к-рыми действуют парные силы отталкивания. Напр., для двух С. (4) с одинаковыми амплитудами х, разделённых расстоянием L, много бблыпим характерного
размера С. ~ X"1, потенциал силы отталкивания U(L) ~ к5ехр(—2kL).
Типичная картина воэнннновения С. в океане, сфотографированная из космоса, нвображена на рве.:
чётко видны пять полос (солитонов), перемещающихся снизу справа вверх налево.
Шрёдингера нелинейное ур-ние для комплексной ф-цин u(x,t)
іщ-\-ихх±2\и\*и=0 (7)
является одним из осн. ур-ниб нелинейной физики, описывающим эволюцию оптич. воли в нелинейных кристаллах, леигмюровских волн в плазме, тепловых воли в твёрдых телах и др. При распространении одномерных квааигармонич. волн в слабонелииейиых средах В результате кубичной ИЄЛИНЄЙИОСТИ (член Ugg) н линейной дисперсин (член 2|м|8и) происходит самомодуляция — возникают волны огибающей. В случае равновесия нелинейного самосжатия и дисперсионного расплываний появляются С. огибающей, В случае знака «_(_» в ур-нии (7) С. огибающей имеет внд:
