Физическая энциклопедия Том 4 - Порохов А.М.
Скачать (прямая ссылка):
циальные операторы. Для таких операторов понятие С. ф.' обобщается в т. в. спектральном разложении. Рассмотрим спектр оператора А ,а(А) с С. Если число A,?ct(/4), то резольвента оператора A, R(K) — = (КГ Л)сингулярна на Все собств. значения А окажутся особыми точками Л (А.) [поскольку в ннх найдётся fx(д-) ? такай, что (KI — A)fx~ О и обратного оператора на всём Ж ие существует}. Ho помимо таких особенностей у R(K) будут н др. особые точки К ? о(А), в к-рых оператор R(K) определён, но неограничен. Спектральная теорема утверждает, что всякий самосопряжённый оператор А допуснает спеит* ральиое разложение вида
+ OO
A= J KdEx.
-О©
Здесь. -Ex — ортогональное семейство проекционных операторов, проектирующих на подпространство ф-ций / из ?*(Q,dfi) таких, что ^ К (/,/>. Для само-
сопряжённого оператора А, ядро к-рого допускает разложение (*) по С. ф. (фй(ж)}, Ex будут интегральными операторами с ядром (спектральным)
Я.Д.Є]—~,Л.]
Рассмотрим спектральное разложение оператора импульса P = (tfi)dfdx, действующего на прямой (см. Операторы). Его С. ф. е(^х не принадлежит пространству
— «х>, оо[) (хотя могут быть аппроксимированы ф-цнямн из Ls на любом конечном отрезке). Всякий оператор (P г/)-1 будет неограничен дли любого вещественного г; т. о., спектр о(Р) = IR.
Для того чтобы построить спектральное разложенне самосопряжённого оператора А, можно найти унитарное преобразование U пространства ф-ций Ж и набор мер {fin}B_i(iV = 1,2,..., оо) (наличие целого набора спектральных мер вместо одной обобщает понятие кратности собств. значения Я), таких, что
© Z2(IR1^ri),
Tl— 1
т. е. оператор U переводит всё пространство ф-ций Ж в набор подпространств, внутри каждого из к-рых оператор А действует как оператор умножения:
(1М1/-Ч)п(*)=М>п(М-
Для оператора импульса ^P таким унитарным преобразованием будет Фурье преобразование:
(Uf)(k)=(2n)~‘/*jf(x) ехр(—ikx)dx.
Тогда
^(4- -?г /)<*>=*<»¦«<*>.
а фур ье-об разом проекционного оператора Ех(х,у) будет оператор умножения на ф-цию Ех{к) = 0(?, — fc), (в(Лг) =1, к ^ 0; 0(&) = 0, к < 0):
U(E1J)(H) = ЩК - k)(Uf)(k).
JIuth.: Ландау JI. Д., Лифшиц Е. М., Квантовая механика. Нерелятивистская теория, 4 изд., М., 1989;
Рисс Ф. ,Секефальві-Надь Б., Лекции по функциональному анализу, пер. с франц., М., 1954; И о с и д а К., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1967; Рид М., Саймон Б., Методы современной математической физики, пер. с англ., т. 1 — Функциональный анализ, М., 1977; Математическая энциклопедия, т. 5, М., 1985. Jl. О. Чехов.
СОБСТВЕННЫЙ ВЕКТОР оператора — ненулевой вектор нз векторного пространства L, н-рый переводится данным оператором в пропорциональный ему вектор, т. е.
Ax=Kx,
где вещественное либо комплексное число К иаз. собственным значением оператора А. С. в. операторов, действующих в функциональном пространстве, паз. собственными функциями.
Для линейного оператора А множество Lx всех С. в,, отвечающих одному и тому же собств. значению К, образует лннейное подпространство, к-рое иаз. собств. подпространством А. Если пространство L конечномерно (гс-мерио), а матрица преобразования А эрмитова, то у иеё имеется ровио п различных С. в., отвечающих вещественным собств. значениям.
Наличие С. в. у операторов в бесконечномерных пространствах — явление довольно редкое, хотя для физ. приложений существенно, что операторы спец. классов (интегральные, дифференциальные и т. п.) часто обладают обширными наборами С. в. Наиб, важным для физики бесконечномерным векторным пространством является пространство I2 векторов /, g вида (а1}аа,...),
OO
(Z)15^2,...) со скалярным произведением (f,g) =
fc=i
(черта означает комплексное сопряжение) н соответствующей конечной нормой d/ll2 = (/,/) < оо. Это пространство изоморфно пространству квадратично интегрируемых ф-ций L2O — оо, -f- оо[) и обладает всеми свойствами последнего.
В конечномерных пространствах, наоборот, у всякой n-мерной матрицы А имеется хотя бы один С. в., отвечающий, вообще говоря, иомплексному собств. значению К, а если к тому же матрица А невырождена, deM O1 то у такой матрицы найдутся ровио п разл. комплексных С. в. Это справедливо, в частности, для унитарных конечномерных матриц А(А+ = А"1).
В физ. приложениях часто возникает необходимость разложнть произвольный вектор в сумму по С. в. заданной эрмитовой матрицы А [напр., привести к диагональному виду симметричную квадратичную форму (хАх)]. Эта задача решается переходом с помощью унитарного преобразования к базису, составленному из С. в. матрицы А. В этом базисе действие оператора А сводятся к умножению каждого базисного вектора иа соответствующее ему собств. значение К. В бесконечномерном случае аналогом этой процедуры днагоналнза-ции является т. н. спектральное разложение.
Лит. си. при ст. Собственные функции. Л. О. Чехов. СОВЕРШЕННЫЙ ГАЗ в гидроаэромеханике- газ, параметры к-рого удовлетворяют Клайпе-роиа ур-нию P рl\i(R,T) (Р — давление, р — плот-
иость, R — газовая постоянная, ц — молярная масса).
