Физическая энциклопедия Том 4 - Порохов А.М.
Скачать (прямая ссылка):
Марковение случайные поля. В физ. задачах часто рассматривают С. п., заданные Нри.помощи стохастических уравнений, т. е, динамич. ур-ний, содержащих случайные сторонние воздействия. Вид дннамнч. ур-ний определяется фнз. закономерностями, а в иачестве сторонних воздействий, описывающих источники случайных возмущений, часто используют С. п., дельта-корре-лированные по тем нлн иным переменным. Исследуемое С. п. прн этом является марковским по указанным переменным, что упрощает вычисление его статистич. характеристик»
Важным примером таких С. п. являются поля равновесных тепловых флуктуаций в электродинамике, описываемые Максвелла уравнениями с дельта-коррелированными стороикимн токами je(r) и im(r):
rot H =tk&E-\-faic~*je, rot E——ікцН—4я,
где Jfc = w/c — волновое число, g и — комплексные тензоры диэлектрич. н магн. проницаемостей среды
ц ионно-диссипативной женнимн:
теоремой описываются выра-
ОЪ))=3^® т Г)я'1<тв(>6(г1—г8),
(/т<,(Г1)/*5(га)^е(© , Г)л-1Тв,в(г1—Г3),
(/«.(ГХ)/* (га))=0,
' mt /
где 0(а>,Г) (йсо/2)сіЬ(й(в/2Л7’) — ср. энергия кван-
тового осциллятора с собств. частотой <а при абс. темп-ре Т, к-рая в класснч. областн Йсо <? кТ переходит^ 0(ю,7) = kT.
К С. п. такого tttna приводит также т. и. марковского процесса приближение в теорнн распространения волн в случайно-неоднородных средах. В этом приближении волновое пойе описывается параболич. ур-инем, в к-ром флуктуац. часть диэлектрич. проницаемости среды полагают дельта-коррелированной в направлении распространения падающей ролнм (CM. Параболического уравнения приближение).
Поййтив'м&риовского С. п. тесно связано с причинностью, под к-рой понимают функциональную зависимость С. п. в данной пространствейно-временнбй то«іке от предшествующих значений поля по временной или пространственной координате. В общем случае ие всегда удаётся выделить в пространстве координату или совокупность координат, по к-рым исследуемое С. п. можно было бы считать марковским. Эта трудность не возникает, еслн речь идёт о марновских С. ц. по времени. Такие С. п. не пользуют в неравновесной термодинамике, в.,статнстнч. гидромеханике, а также в теории оптимальной пространственно-временной обработ-ни случайных сигналов на фоне шумов и помех. Примером С. п. такого типа явдяется доле ?(*,г), удовлетворяющее стохастич. ур-нию
d$(f,r)/di-|-/(*,r,g)==x(f,r)
с аддйтнвиым сторонним воздействием х(*,г), обладающим йо^орелиц. ф-цней “ '
<х( h. . г«)>^к(*і1 ri. »•*№( h—tt).
' Если расиределение Х(*,г) гауссово, то для функционала плютности вероятности этого С. н. справедливо обобщённое ФокКера — Планка уравнение
,at
0|(г)
6?(гі)в?(гі)
• /Ir1Hr3,
с компонентами е„
562 — і 4яо)-1
— і 4j
я©'
И'ар if
1аЭ-
Элементы корреляц. матрицы вектор-
в к-ром вместо частных производных фигурируют функциональные Производные н, кроме того, ннтегри-рованне по г проводятся в/ пределах той областн пространства D, не к-рой задало С. п.
При нач. условии у(С?) = б(?(0 — 6о(г)) эт0 ур-ние описывает функционал плотности вероятности перехода С. п. из начального (в момент f0) состояния ?0(г) в состояние |(г) в текущий момент t. Описанное ур-ние (как и вообще подобные ур-иия для функционалов плотности вероятности) имеет символнч. смысл, поскольку нормировочные константы величин р(?,?) обычно обращаются в О нлн в <%>. С матем. точкн зрения более корректно было бы оперировать с характеристич. функционалами, свободными от этого недостатка. Однако в фнз. приложениях представляют интерес такне статистич. характеристики С. п., к-рые не зависят от нормировочных констант: моментиые и кумуляит-ные ф-цнн, отношение функционалов плотности вероятности (т. н. отношение правдоподобия) и др. Для
вычисления э*их величин ' можно использовать обобщённое ур-ние Фоккера — Плаяка. К более сложным ур-ниям для функционала плотности вероятности полей приводит учёт негауссовых сторонних воздействий (прн сохраненнн их дельта-коррелированностн по времени), неаддитивность этих воздействий в стохастнч. ур-ниях и многомерность рассматриваемого С. п.
Лит.: Молин Л. С., Я J1 л о м А. М., Статистическая гидромеханика, ч. і—2, М., 1965—X о х л о в Р. В., Маков Ю. H., О марковских волновых процессах, в сб.: Проблемы математической фиаики в вычислительной математики, M-, 1977; Введение в статистическую радиофизику, ч. 2 — P ы-тов С. М., Кравцов Ю. A., T а т ajp с к, и й В. И., Случайные полй, м., 1978", Кляцкин В. И., Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах, М., 1980; Розанов Ю. А., Марковские случайные поля. М., 1981; Ахманов С. А., Дьяков Ю. E., Чир кин А. С., Введение в статистическую радиофизику и оптику, М., 1981.
Ю. А. Кравцов, А. В. Шмелёв.
СЛУЧАЙНЫЕ ВОЛНЫ — случайные поля волновой природы (акустич., зл.-магн., упругие, концентрационные и др.). С. в. могут возникать по мн. причинам. Волновые эадвчн классич. физики описываются дифференциальными (нли интегроднфференцнальнымн) ур-ннямн вида Lu = д, где и — волновое поле, к-рое может быть сиалярным или векторным, L —- волновой оператор (в общем случае — нелинейный), а ф-ция q-задаёт нсточннки волн. В таких задачах нанб. распространёнными причинами случайности являются: 1) источники поля (задана «статистика источников» q; в области, свободной от источников, должна быть задана статистика «виртуальных» ноточииков, т. е. статистика граничных значений поля); 2) свойства среды (задана «статистика среды», т. е. статистич. характеристики оператора Z,); 3) форма и положение границ раздела (должна быть задана «статистика границ»); 4) условия приёма и регистрации волн (подразумевается' задание «статистики приёмника» и «статистики помех»); 5) нелинейность волновоге ур*-ния, иогда даже в отсутствие внеш. источников случайности поведени© воли может быть «кваяислучайиым* нли «стохастичным* Sa счёт возникновения динамического стох ас т ич. режима.' К этим статистич. схемам сводится постановка большинства задач теорнн С. в. Возможны н задачи сметанного типа.
