Физическая энциклопедия Том 4 - Порохов А.М.
Скачать (прямая ссылка):
Прн статистнч. описании С. п. часто ограничиваются корреляционной теорией, в к-рой используют только моменты 1-го и 2-го порядка, т. е. ср. значение
м иорреляц. ф-цию
&=!/—<&>•
Характерный масштаб убывания корреляц. ф-ции наз. масштабом нлн радиусом корреляции. Напр., С. п. с гауссовой корреляц. ф-цней
ij>(r)=Oa^xp (~х2/а2—(у2-Н2)/Ь2) ф 36 Физическая энциклопедия, т. 4
имеет масштаб корреляции а вдоль осн х я радиус корреляции Ь в плоскости (у,г). Корреляц. теория точно описывает только поля с нормальным (гауссовым) законом распределения вероятностей.
Многомерное С. п. ?(г,(ф) в рамках корреляц. теории характеризуется совокупностью ср. значений (?и)(<?))
н корреляц. матрицей Vptk(Qi,Q%) — <1<0(<?і)С<Л) «?г)>, в к-рой диагональные элементы представляют собой ф-цнн автонорреляцин, а недиагональные — ф-ции взаимной корреляции компонент ?(/> н
В приложениях прнходнтся иметь дело с комплексными С. п. ?(Ф) S= т](<?) 4- полное ста-
тистнч. описание к-рых не отличается от описания двумерного С. п. с номпонентамн т](?>), ?((?)• Обычно не производят разделения С. п. на вещественную и мнимую частн, а;оперируют непосредственно с ?((?) н комплексно сопряжённым полем ?*(<?)- Прн описании такнх С. п. в рамках корреляц. теорин прнходнтся поэтому рассматривать две корреляц. ф-цин
Ф«?х. <?*)=<!<<?!)!«?») >=<?«?»)?«?»)>—<?«?») >.
через и-рые выражаются ф-ции норреляции вещественной н мнимой частей комплексного С. п.:
(1/2) Re [ір(Фі1ф2)-{-<ф(фі,фа)], Ші.Єі)“(і/2) ReIMQiM-MQiMh
а также ф-цнн взаимной корреляции
¦*«Ь.<?*)=<1/2) Im [$«?і,QJ-MQitQlh ^UQiM=W) 1“ <?*)]•
Для случайного эл.-магн. поля с напряжённостью электрнч. поля Е(г) вводит поляризационную матрицу Pik(T) = (,Eiii (r)Ellc)(r)). С её помощью вычисляются Стокса параметры, характеризующие состояние поляризации С. п.
Простейшей мерой статнстнч. связи значений С. п. в разных точках ^-пространства являются к о э Ф Ф н-цненты корреляции:
гг (П -п \________Фи«?1, Qt)____
^ л, Ihfc(Qi1Qi)
MQiM- [lMQi(QMkkiQt,QO1V- ¦
Пространственно-однородные поля, у к-рых “ф(г) н ¦ф(г) зависят только от модуля вектора г — г і — г2, т. е. i^r1!, г2) = i[>(r), If^r1 ,га) *= 1[>(г), наз. статистически изотропными в широком смысле. (Изотропность в узком смысле подразумевает аналогичные свойства непосредственно у плотностей вероят-hocthJ Многомерные С. п., у к-рых указанным свойством обладают ф-цни корреляции, являются изотропными и изотропно связанными. Как и однородность, изотропность полей может иметь место лишь на нек-рых гиперповерхностях пространства независимых переменных.
Для статистически однородных (в широком смысле) С. п. справедливо обобщение Винера — Хинчина теоремы, устанавливающее взаимосвязь между корреляц. ф-цией и пространственио-временнбй спентраль-ной плотностью G(o»,k). Для поля, стационарного по времени и однородного в трёхмерном пространстве, эта связь имеет внд:
OO
*j)(f,r)= J G(O),k) exp[i(kr—art)]da><fк,
С(й),к)=(2л)'4 j* ii>(f ,г) exp[i(kr.—
561
СЛУЧАЙНОЕ
СЛУЧАЙНОЕ
Через пространственно-временную спектральную ных полей j9 a Jm зависят от электрнч. а магн. проплотность G(Ci), к) выражаются пространственный Ф(к) водимостей среды а4 а т4 н в соответствии с флуктуа-
н временной (частотный) g(to) спектры С. п,:
оо : 1M т ¦ '' ’
Ф(к)— j G(G),k)d(0— J i}>(0,r)exp(—Ikrjdrt
OO OO
О* OO
tf(to) = J G(o>,k)dk= J i{>(*,0) eXp(twf)(f*.
О» OO ,
Для многомерных однородных H однородно' связанных С. п. аналогичная связь имеется между элементами корреляц. матрицы i[>/j(f,r) н соответствующими элементами матрицы спектральной - плотности < Gy(<o ,к). Ввиду положит, определённости матрицы ^ .диагональные элементы матрицы G^ веществееиы и неотрицательны, а веднагоааяьные элементы могут быть комплеисными.
Пространственным аналогом случайного процесса со стационарными приращениями является л о к а л ь-и о о д и о р о д и о е С. п., для к-рого разность ср. значені <?(»i)> — <?(га)) н структурная ф-цня
зависят только от разности г = г\ — гг. Еслн эти величины зависят только от модуля г, говорят о локально изотропном С. п. Локально однородные н локально изотропные С. п. не пользуют, напр., при описании флуктуации параметров турбулентных Сред.
В рамках корреляц. теории локально однородные С. п. можио также описывать ври помощи спектральной плотности Ф(к). Из-за расходимости интеграла
OO
J Ф(к)ехр(ікг)4?к прн к —»0 корреляц. ф-цнн для таких
— оо
С. п. не существуют, а струнтурная ф-цкя существует,
OO
т. к. интеграл D(г) = 2^Ф(к)[1 —coskr]dk сходится при — 00
менее жёстких требованиях. Это следствие «нечувствительности» структурной ф-цнн к флуктуациям, пространственные масштабы н-рых превышают рассматриваемое расстояние г = Jri — га|.
Аналогом квазистационар ных процессов являются квааиоднородиые С. п., у к-рых многоточечные статистич. характеристики сла^о зависят от ноор-дннат центра тяжести рассматриваемых точен п,г2,...,гп по сравнению с зависимостью от взаимного расположения этн? точек, т. е. от разностей rj — гIc. Для таких С. п. вводят понятие локальной спектральной плотности, равной преобразованию Фурье пространственной корреляц. ф-цня по разностным переменным Г = Tl — га.