Физическая энциклопедия Том 4 - Порохов А.М.
Скачать (прямая ссылка):
... Наиб, полно развита теория С. к. для квазигармоии-526 ческих колебаний в слабо нелинейных системах [2—4].
В частности, усреднённые по периоду внеш. силы ур-ния для комплексной амплитуды а нелинейного генератора с одной степенью свободы, находящегося под действием слабой гармонической силы, имеют вид:
а = ц[а(1 - I a 12)+Ф I a 12а+авнещ+^а], (1>
где ц, Р, 5 — действительные параметры: ? — расстройка между частотой автоколебаний и частотой внеш. силы, — коэф. усиления в автономном генераторе, р — нелинейный сдвиг частоты. Режиму С. к. соответствует устойчивое положение равновесия системы (I). В исходном же (3-мериом) фазовом пространстве режиму С. к. отвечает устойчивый предельный цикл. При увеличении g режим С. к. либо перестаёт существовать (при слабых внеш. сигналах), либо теряет устойчивость (в случае сильных сигналов). Область значений расстроек, длн к-рых реализуется режим С. к., наз, полосой захватывания. Граница полосы захватывания находится нз (1): из условия существования режима С. к. (я = 0) устанавливается резонансная кривая
j; Амплитуд» биений
\
L
\
Частота
биений
/
4t
б
Рис. 1.
P = р(?), гДе P — Ia0(S)I2 — интенсивность автоколебаний в режиме С. к., и по линеаризованному ур-нию определяется устойчивость этого режима. На рис. 1 показаны полосы захватывания в случаях слабых и сильных сигналов. На рис. 2 изображены последовательности фазовых портретов иа плоскости (Rea, Ima),. отвечающих (1) при разных значениях расстройки. При
Im а
Iта
Imff
Retfs
Рис. 2.
переходе через границу области захватывания режим С. к. сменяется режимом биений — наблюдается бифуркация Андропова —: Хопфа (при сильных сигналах) или бифуриацня рождении предельного «цикла из петли сепаратрисы седло — узел (при слабых сигналах). В исходном (3-мерном) фазовом пространстве переходу к режиму биений отвечает рождение притягивающего двумерного тора с квазипериодич. обмоткой. Аналогичным образом можно исследовать С, к. ансамбля генераторов, находящихся под действием одной и той ж$ внеш. гармонической силы [5, 6],
Явление взаимцой синхронизации генераторов ква-зигармоннчес ких колебаний в простейшем случае-бигармоиического резонанса (со2 =Fs 2coi + 6) может быть исследовано в рамках системы ур-иий для комплексных амплитуд alti взаимодействующих мод в автогенераторе с двумя степенями свободы:
а‘і=*іИ ~(I <*i I а+Ри I о2 j 8)]+СТіаа«і*ехр /?,
аа=А2[1—(I a9 j а+ра1 j O11я)]—стааіЄхр /g,
(2>
где 4 — расстройка от точного резонанса, A12 — инкременты каждой из мод, р12 р21 — параметры,’характеризующие койку рейд ию мод, a Ctj 9 —их резонансное взаимодействие. Здесь также режиму С. к. отвечает устойчивое состояние равновесия, граница области устойчивости к-рого и определяет границу области взаимной синхронизации [3]. Взаимная синхронизация наблюдается в системах с числом степеней свободы >2, и во многих ситуациях после разрушения режима С. к. возможно возникновение стохастических автоколебаний (см. Стохастические колебания). Явление С. к. наблюдается не только в случае, когда частоты парциальных генераторов близки друг к другу, ио и когда оии близки к кратным друг друга (синхронизация иа гармониках и субгармоинках). Именно за счёт взаимной синхронизации мод оптич. резонатора удаётся реализовать режим генерации ультракоротких импульсов в лазерах [7].
В сильно нелинейном случае усреднённое описание, приводящее к ур-иинм типа (1) и (2), не адекватно задаче, н здесь используется качеств, теория динамических систем. В этой теории явление синхронизации периодич. колебаний двух автоколебат. систем можно описать следующим образом. Каждой из систем
уменьшающихся студеней (рис. 3). Точнее, ф-ция (Ji(Y) растёт на канторовом множестве. Каждое своё значение, равное отношению целых чисел plq (синхронизация), число вращения принимает, вообще говоря, иа иек-ром интервале, а числа р и q соответствуют номерам гармоник, на к-рых осуществляется взаимная синхронизация. Если следить за изменением ие только параметра связи, ио и др. параметра (иапр., надкритичностн в каждом из генераторов), то области синхронизации будут изображаться уже не на прямой, а на плоскости. Обычно эти области имеют вид «языков» [81 (т. и< языки Арнольда [9J) — рис. 4.
I(Надхритичность
x=f(x), XClRm,
(3)
y^=g(y), УЄ(4) свойственны периодич. автоколебания, т. е. в её фазовом пространстве имеется устойчивый предельный цикл — Li и Li соответственно. Система
*==/(*)+YA(*,ir)»
(5)
y=g(y)-hyr(x ,у)
при Y = O будет иметь притягивающий двумерный тор я0 = Li X Li (каждая система колеблется независимо от другой). При возрастании параметра связи у движение в парциальных подсистемах системы (5) перестаёт быть независимым, что отвечает бифуркациям иа торе пу [остающемся аттрактором для системы (5)]. В частности, явлению синхронизации отвечает рождение устойчивого предельного цикла иа этом торе.
Более подробную информацию о перестройках в системе при изменении параметра связи даёт т. и, дьявольская лестница — график зависимости числа вращения системы на торе Jit от параметра связи. [Число вращения — это предел отношения фаз бывших независимыми при Y = O колебаний парциальных генераторов: p. = Um<p(0/4>(*)J*
