Физическая энциклопедия Том 4 - Порохов А.М.
Скачать (прямая ссылка):
6) Принцип наименьшего действия. Двум траекториям в С. м. с общими концами сопоставим симплектич. площадь соединяющей их 2-мерной плёнки. Эта площадь по существу не зависит от плёнки (замкнутость снмплектнч. структуры!) и определяет поэтому функционал, называемый действием, на пространстве таких траекторий (он определён с точностью до постоянного слагаемого). Экстремали функционала действия в нлассе траекторий на поверхности фнкснров. уровня гамильтониана Я суть в точности траектории ПОЛЯ Vh (следствие косаортогональностн поля vH к уровням Я = const). Этот геом. вариационный принцип — прототип всех вариац. принципов матем. фианкн.
Имеется и обратная связь — пространство экстремалей вариац. задачи, как правило, несёт естественную снмплектнч. структуру* Последнее обстоятельство лежит в основе перехода от лагранжева формализма к гамильтонову, а также даёт ещё один способ пополнять запас примеров С. м.
7) Теория Днрака. К гамильтонову формализму со связями обычно приходят, отправляясь от лагранжиана, вырожденного по скоростям (определитель матрицы производных лагранжиана по скоростям равен нулю). Требование непротиворечивости динамич. ур-ний означает, что подмногообразие связей F в С. м. M нн-волютивно: пространство J сбязей (ф-цнй на Mt нулевых на F) замкнуто относительно скобки Пуассона ([У,/} с= Jr). Поток векторного поля, отвечающего гамильтониану Я, сохраняет F, если {Я,/}с=/. Все такие гамильтонианы образуют замкнутую относительно скобкй Пуассона алгебру А. Фнз. величины — это элементы фактор-алгебры AfJ. Их можно воспринимать как ф-цин на фнз. фазовом пространстве В — базе нек-рого расслоения F-* В. Скобка Пуассоиа в AU наделяет В симплектич. структурой. Эта конструкция используется в калибровочно инвариантных теориях (см. Калибровочная инвариантность), где вместо проекции из / в В обычно фиксируют «калибровку», т. е. сеченне расслоения F —> В в качестве фнз. фазового пространства.
8) Ур-ние Эйлера (для твёрдого тела). Еслн действие группы Ли G на С. м. M сохраняет симплектич. структуру і то алгебра лі G-ннварнантных ф-ций на M замкнута относительно скобки Пуассона. Рассматривая лі как алгебру ф-ций на многообразии А, получаем разбиение А на снмплектнч. слои, а также проекцию M -> At сохраняющую скобки Пуассона. На этой конструкции основано понижение порядка симметричных гамильтоновых систем: траектории на M G-инвариантного поля Vlf Проектируются в траектории гамильтонова потока на слоях в Л с гамильтонианом Я € Таким способом возникает, напр-, ур-ние Эйлера, т = [пю], описывающее эволюцию вектора момента нмпульса во внутр. координатах твёрдого тела при его свободном вращении. Здесь G — группа вращений^ M = T*G — её кокасательное расслоение, действие G на M зада-ётся сдвигами на группе, а проекция M —> А =¦ MlG
522 совпадает с отображением момента T*G —> ©* в двой-
ственное пространство алгебры Ли © группы G. Скобка Пуассона в j4 порождается коммутатором в <5. Сим-плектнч, слон в <3>* — это орбиты копрнсоединённого представления группы G. Тензор ннерцни тела интерпретируется как оператор (>: ® -> ®* и устанавливает связь вектора угл. скорости ш с вектором момента т = Qto и задаёт на (5* квадратичный гамильтониан Я = (т I Q~l т).
Аналогичная конструкция с группой G сохраняющих объём диффеоморфизмов приводит к ур-нию вихря d(TOtv)/dt = (о, rot о] в теорнн свободного течения идеальной жидкости, где роль порождающего гамильтониан оператора ннерцин выполняет ротор.
Отображение момента T*G —> <5* играет фундаи. роль в современной, теорин вполне интегрируемых систем. В частности, один нз подходов к интегрированию Кортевега — де Фриса уравнения основан на его интерпретации как ур-ния Эйлера на орбите ко присоединенного представления в двойственном простран* стве алгебры Вирасоро.
Лит.; Арнольд В. И., Математические методы классической механики, 3 изд., М.. 1989; Арнольд В. И., Г и-венталь А. Б., Симплектическая геометрия, в кн.: Итоги науки и техники. Сер. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, т. 4, М., 1985, с. 5; Кириллов А. А., Геометрическое квантование, там же, с. 141.
А. Б. Гивентпалъ.
СИНГЛЁТЫ (от англ. single — одиночный) — одиночные спектральные линнн в атомных спектрах, соответствующие разрешённым квантовым переходам между синглетнымн уровнями энергии (см. Мулътиплет-ностъ). Синглетные линии составляют, напр., гл. спектральную серию атомов щёлочноземельных элементов.
СННГОНИЯ кристаллическая — подразделение кристаллов по симметрии формы их элементарной ячейки (элементарного параллелепипеда повторяемости), нли, что то же самое, по точечной симметрии узлов кристаллич. решётки. С. характеризуется определёнными соотношениями между периодами элементарной ячейки а, Ь, с и углами между ними а, 0, у (см. Симметрия кристаллов). Всего существует 7 С.— трннлннная, моноклинная, ромбическая, тетрагональная, тригональная, гексагональная, кубическая.
Б. К. Вайнштейн.
СИНГУЛЯРНОСТЬ КОСМОЛОГИЧЕСКАЯ (ОТ лат. singularis — отдельный, особый) — состояние нашей Вселенной в определённый момент времени в прошлом, когда плотность энергии материн е и кривизна пространства-времени были очень великн — порядка план-ковскнх значений (е ^ еПл = CiIG2K ~ Ю114 эрг/см*,
