Физическая энциклопедия Том 4 - Порохов А.М.
Скачать (прямая ссылка):
эрмитовой формы в Cn+1. Форма “V Pac-
сматрнваемая на этой гиперплоскости, задаёт эрмитову форму в касательном пространстве к CPn в точке х. Ta-иие формы, определённые во всех точках Cpn1 задают эрмитову метрику на Cpn, Эта метрика кэлерова и называется метрикой Фубинн — Штуди.
2) Комплексное алгебраич. многообразие — это иом-плексиое подмногообразие в комплексном проективном дространстве* Ограничение метрики Фубинн — Штуди на такое подмногообразие наделяет его кэлеровой структурой. Ef частности, алгебраич. многообразия обладают С. с. Более общо, комплексное подмногообразие кэлерова многообразия само кэлерово.
3) Гиперкэлерова структура (на 4л-мерном вещественном многообразии) состоит из трёх комплексных структур I, Jf К, удовлетворяющих соотношениям для образующих алгебры кватернионов |Н, и таной метрики Дирака (, ), что соответствующие кососкалярные произведения о);, (s)j, (Ojf замкнуты. Т. о., касательные пространства к гнперкэлерову многообразию несут структуру кватернионного пространства, а само многообразие — риманову метрику, согласованную •с тремя вещественными С. с., нли в комплексной интер-
претации — трн кэлеровы структуры Z1, Zj, Zjc и три комплексные С. С. Wj, Wj, Wjc-
Отметим, что риманова метрика на 4-мерном (л = 1); гнперк эле ровом многообразии имеет антиавто дуальную ферму кривизны и автоматически удовлетворяет ур-нию Эйнштейна (см. Тяготение). Само гиперкэлерово многообразие наз. в этом случае гравитац. инстантоном, чем подчёркивается, что речь идёт не о метрике Мин-ко вено го, а о евклидовой версии общей теории Ьтноси-тельности.
Лит. см. при ст. Симплектическое многообразие.
А. Б. Гивенталъ.
СИМПЛЕКТЙЧЕСКОЕ МНОГООБРАЗИЕ — многообразие, снабжённое симплектической структурой.
С. м. играют фундам. роль в классич., статистич. и квантовой механике, поскольку симплектич. структура оказывается естественной геом. структурой фазовых пространств гамильтоновых систем. Все атрибуты гамильтонова формализма переносятся на любое С. м., а координаты Дарбу являются канонич. переменными.
Примеры, 1) Фазовое пространство. Пусть X — конфигурац. пространство механич. системы,
M = Т* X — его ко касательное расслоение. Локальные координаты в M — это обобщённые координаты (Зи 9п) точки q на X я обобщённые нмпульсы (Pi, ..., рп) {координаты ко вектора р из коиасательного пространства в точке q). Дифференциальная 1-форма
a = ^iPidqi наз. формой Лиувилля и допускает инвариантное определение: её значение на касательном векторе и к M в точке (р, q) задаётся как значение ко-вектора р на образе вектора v при проекции Т*Х —> X. Симплектич. структура о) на M определяется как дифференциал формы Лиувнлля: (О = da — ^dpi Adqi.
2) Картина, Шредингера —подход, основанный на гамильтоновом векторном поле. Гамильтониан H (ф-цни на С. м.) задаёт векторное поле у# по правилу; отвечающее V1I поле ковекторов должно совпадать с дифференциалом dH ф-ция Гамильтона. Движение фазовой точки со скоростью Vjj описывается системой дифференциальных ур-ннй, к-рая в координатах Дарбу принимает вид ур-иий Гамильтона:
P=-Hq, q=Hp.
3) Картина Гейзенберга — подход, основанный на алгебре ф-ций. Ф-ла {F,G\ = vG) задаёт Пуассона скобку в пространстве ф-ций на С. м. В координатах Дарбу {F,G\ — FpGq — FqGp. Геом, интерпретация функции [H,F] как производной ф-ции F вдоль потока поля Ojj означает, что картина Шрёдингера эквивалентна картине Гейзенберга: фнз. величины (ф-ции на фазовом пространстве) меняются во времени согласно ур-нию F= {H,F). Из этой эквивалентности вытекают осн. свойства законов сохранения: сохранение энергни ({Н,Н} = 0); Hemep теорема — если поток поля Vp сохраняет ф-цню Гамильтона Я, то F — первый интеграл потока vjj({F,H) = О => {H,F} = 0); теорема Пуассона— скобка Пуассона {F,G} первых интегралов снова первый интеграл (это следует нз тождества Яко-бн).
Если же в пространстве ф-цин на многообразии задана скобка Пуассона, то многообразие разбивается в объединение С. м., называемых симплектич. слоями. Это один из способов строить примеры С. м., пополняя, в частности, запас физ. моделей.
4) Статистич. механика. Поток векторного поля на С. м. сохраняет симплектич. структуру (о, если и только если это поле локально гамильтоново. В частности, ого поток сохраняет фазовый объём о>п = (оА...А(о (п — число степеней свободы). Этот факт лежит в основе статистич. механики. Эволюция фазовой плотности ро)п под действием потока поля vH удовлетворяет ур-нию Лиувилля, р = {р,Я}. Отсюда вытекает, напр., стацио- 52
СИМПЛЕКТИЧЕСКОЕ
СИНГЛЕТЫ
нарность распределения Гнббса ехр(—РЯ)©". В координатах Дарбу
а>п=пIdpiAdqi.. .dpnAdqn.
5) Класснч. подход к спину. Векторное произведение в 3-мерном евклидовом пространстве порождает скобку Пуассона ф-ций на нём. Симплектич. слон в данном примере — концентрич. сферы, снабжённые элементом площади. Вращений группа сохраняет площади н потому действует на сфере потоками гамильтоновых векторных полей. Гамильтонианы действия — линейные ф-цни в пространстве. Квантование этого действия возможно лишь на сферах целочисленной площади (в единицах h) н приводит к неприводимым представлениям группы вращений — как «векторным», так и «спинорным».
