Физическая энциклопедия Том 4 - Порохов А.М.
Скачать (прямая ссылка):
Примеры. 1) Кососкалярное произведение на плоскости с координатами р, q — это форма площадд рAg. Паре векторов она сопоставляет ориентированную площадь натянутого на них параллелограмма и меняет, знак при перестановке векторов. Напр., кососкалярное> произведение пары векторов с декартовыми
координатами U1, us и W11 ws можно записать в виде: (и,и?) — U1W2 — U2W1. С. г. плоскости изоморфна группе 2x2 — матриц с определителем 1.
2) Прямая сумма п симплектич. плоскостей несёт кососкалярное произведение /J1Agi + ••• + PnAqni относящее паре векторов сумму площадей проекций на координатные плоскости натянутого на этн векторы параллелограмма. С. г. содержится в группе линейных преобразований, сохраняющих объём piAfliA... APnAqn-
3) Мнимая часть невырожденной эрмитовой формы в л-мерном комплексном пространстве, рассматриваемом как 2п-мерное вещественное, является кососкалярным произведением. В координатах = Pjc-^iQjc эрмитова,
R П
форма имеет мнимую часть — ^р^/\д^. С. г. со-
A=I А-»
держит унитарную группу — группу комплексных линейных преобразований, сохраняющих эту эрмитову форму. Унитарная группа — максимальная компактная подгруппа в С. г.
Изучение симплектич. пространства упрощается благодаря теореме Дарбу — Фробениуса, согласно к-рой симплектич. пространство чётно мерно, а два таких пространства одной размерности симплектически изоморфны.
Косоортогональность. Два вектора наз. косоортогональнымн, если их кососкалярное произведение — нуль. Вектор, косоортогональный всему пространству,— нулевой. В этом состоит определение невырожденности кососкалярного произведения. Каждый вектор себе косоортогонален (следствие кососимметричности). Косоортогональное допелнение прямой — гиперплоскость, содержащая эту прямую. Обратно, косоортогональное дополнение гиперплоскости — прямая в ней. Вообще косоортогональное дополнение подпространства имеет дополнит, размер-ность. Два подпространства одинаковой размерности переводятся друг в друга преобразованием из С. г., если и только если совпадают размерности нх пересечений со своими косоортогональнымн дополнениями. В частности, любая прямая (гиперплоскость) переводится в любую другую. Т. о., геометрия симплектич. пространства во многом определяется структурой С. г.
С. г. 2я-мерного симплектич. пространства — это простая связная группа Ли, обозначаемая Sp(2n,|R) [в комплексном случае Sp(2re,c)}. Её размерность (2п 4* 1)и. Ли алгебра этой группы изоморфна алгебре Ли однородных многочленов степени 2 от переменных (рх, ..., рп, qlt ..., qn) с Пуассона скобкой в качестве коммутатора:
M=/*,- -? -?)-
к—1
По этой причине изучение С. г. равносильно донек-рои степени изучению линейных гамильтоновых систеи дифференциальных ур-ний. А. Б. Гияенталъ,-
СИМПЛЕКТЙЧЕСКАЯ СТРУКТУРА — замкнутая невырожденная дифференциальная форма степени 2. 'Многообразие, снабжённое G. с., наз. симплектичееким многообразием. В каждом касательном пространстве С. с. задает кососналярное произведение (см. в ст. Симплектическая группа). Кососкаляр-ное произведение (y.w) пары векторов можно принять за определение площади натянутого на них параллелограмма. Поэтому на симплектич. многообразии определена площадь 2-мерных ориентированных поверхностей. Условие замкнутости С. с. связывает кососналяр-ные произведения в соседних касательных пространствах таким образом, что (ориентированная) площадь (малой) замкнутой поверхности нулевая. Условие невырожденности кососкалярного произведения позволяет отождествить на симплектич. многообразии векторы и ковекторы (линейные ф-цин от векторов): v «-» (-,у). Оба условия вместе делают локальную геометрию С. с. •универсальной (теорема Д а р б у): в окрестности любой точки существуют координаты (pt, ..., pn, gi, ..., qn), называемые координатами Дарбу, в к-рых С. с. Принимают вид ^p1Adg1 -J- ... -f- dpn/\dqn. Для сравнения заметим, что в римановой геометрии
риманова метрика ^gij(x)dx?dxj (скалярное произведение в касательных пространствах) приводится в подходящих локальных координатах к виду (dx г)2 + ... -j- {dxn)% лишь с точностью до членов 2-го порядка малости: gi$(x) = 6?j -f* 0(\х\й) (последние определяют кривизны риманова многообразия в данной точке).
С. с. естественным образом возникают в класснч. механике, а также в комплексной геометрии. Пусть Mn — п-мерное комплексное многообразие, G — эрмитова метрика на нём (т. е. эрмитово скалярное произведение в иасательных пространствах). Если рассматривать M как 2гс-мерное вещественное многообразие, -TOg= ReG задаёт евклидово скалярное, а со = ImG — •кососкалярное произведение в касательных пространствах. Эрмитова метрика G наз. кэлеровой структурой, если о) является С. с., т. е. замкнута: dto =5= 0. Последнее условие необходимо н достаточно для того, чтобы эрмитова метрика G в подходящих -локальных комплексных координатах приводилась
* виду 2[ldzil2 + 0(|z|a)].
Примеры. 1) Комплексное проективное пространство С Pn по определению состоит из всех комплексных одномерных подпространств в С71+1. Касательное пространство TxCPn отождествляется с эрмитово-ортотональной гиперплоскостью к прямой X относительно
