Физическая энциклопедия Том 4 - Порохов А.М.
Скачать (прямая ссылка):
Й= BxJ + BvJ + BzJ
X "у г
(5)
V’
инвариантен относительно поворотов на 180° вокруг
моменты), т. е. относительно операции точечной группы D1 4-го порядка. Учёт этой симметрии даёт полезный способ классификации вращат. уровней асимметричного волчка и позволяет разложить матрицу вращат. энергии на 4 блока. Гамильтониан молекулы тнпа
симметричного волчна, получаемый из (5) при Bx= By, инвариантен относительно операций группы D^fl любых поворотов вокруг оси z и отражения на плоскости оху. Эта группа позволяет классифицировать вращат. уровни энергии молекул типа симметричного волчка по квантовому числу К. Модельная симметрия часто используется и для нежёстких молекул, когда нек-рые атомные группы в молекуле имеют достаточно высокую симметрию, хотя сама молекула высокой симметрии не имеет. Напр., если молекула содержит СН3-группу, то при изучении внутр. вращения такой группы используется точечная группа Czv. В частности, туннелирование группы CH8 в периодич. потенциальной яме с тремя минимумами приводит к известному дублетному А — E-расщеплению уровнен по типам симметрии точечной группы C3t. Более сложное квартетное туннельное расщепление уровней молекулы с двумя CH3-группами [напр., (CH3)aCO] классифицируется по типам симметрии прямого произведения Cav X C3v.
Лит.: Банкер Ф., Симметрия молекул и молекулярная спектроскопия, пер. с англ., М., І981; см. также лит. при ст. Молекулярные спектры. М. Р. Алиев.
СИММЕТРИЯ CPT — см. Теорема CPT.
СИММЕТРИЯ S[/(2). В физике обычно реализуется как инвариантность относительно группы матричных преобразований над полями Ujityi, где Uyl —
матричное представление группы S U(2). Группа S U(2)— совокупность унитарных унимодулярных матриц 2-го порядиа (образующая группу по отношению к обычному матричному умножению). Унитарность обеспечивает неизменность нормы двумерного комплексного вектора (столбца), к-рый преобразуется такой матрицей. Условие унимодулярности, т. е. равенство определителя единице, исключает матрицы, отличающиеся от единичной лишь домножением на числовой фазовый множитель.
Любая унитарная унимодулярная матрица U представима в виде U — exp(ttf), где H — эрмитова бессле-довая матрица = Я+, Sptf — 0), к-рую можно выразить линейной комбинацией п2 — 1 линейно независимых базисных матриц такого тнпа (для матриц п-го порядка). Каждая унитарная унимодулярная матрица 2-го порядка задаётся тремя веществ, параметрами, к-рые могут принимать непрерывные значення. Это значит, что S U (2) — трёхпараметрнч. группа Ли. SU(2) — простая группа, т. е. она не содержит инвариантных подгрупп Ли.
Отметим роль условия унимодулярностн. Отказавшись от него, мы получим группу U(2), к-рая является прямым произведением двух групп — группы SU(2) и абелевой группы Ли ?/(1), соответствующей числовым фазовым множителям. Каждая из них является инвариантной подгруппой группы U(2). Подчеркнём, что группа SU(2) неабелева, т. е. два преобразования, являющихся её элементами, могут не коммутировать друг с другом.
Если матрицы, реализующие группу SU(2), параметризовать в виде
( . 6 \ е . . . 0
ехр у і ап J = cos -f- шп Sm —,
где а = (olt о2, о3) — Паули матрицы, п — вещественный единичный 3-компонентный вектор (па = 1), то бесконечно малые преобразования порождаются генераторами группы IJe — GyJ2. Их перестановочные соотношения [Ij, Ije] = iejkilt совпадают с соотношениями
для генераторов 3-мерной вращений группы, 0(3). Поэтому малые преобразования группы S U(2) эквивалентны преобразованиям группы 0(3), причём вектор п указывает направление оси вращения, а Й — угол поворота. Ho соответствие групп не однозначное, поскольку в группе 0(3) поворот на угол 0 = 2я считается неотличимым от тождественного преобразования, тогда как соответствующая матрица 2x2 отличается от единичной знаком. В связи с этим говорят о дву-
517
СИММЕТРИЯ
СИММЕТРИЯ
значных представлениях 3-мерной группы вращений.
Ли алгебра генераторов группы 5^(2) [илн 0(3)J — единственная алгебра Ли 1-го ранга, т. е. такая, что диагонализовав один генератор (обычно /3), невозможно, вообще говоря, диагоналнзовать ещё н.-л. другой генератор. Соответственно, в этой алгебре существует лишь один Казимира оператор (т. е. оператор, построенный нз генераторов и коммутирующий со всемн генераторами). Он имеет вид:
к=і
Задание его численного значения достаточно для указания неприводимого представлення. Возможные значения Iа = i(i -j- I), где і — неотрицательное целое илн полуцелое число.
Приложения С. S U(2) в физике связаны прежде всего с представлениями группы вращений 3-мерного пространства, отвечающими по луце лому спину. В частности, для спнна 1J2 получаем 2-компонентные спиноры, к-рые при вращениях преобразуются как раз унитарными унимодулярнымн матрицами 2-го порядна.
В физнке элементарных частнц С. SU(Z) широко используется также в связи с идеей изотопической инвариантности, предложенной В. Гейзенбергом (W. Heisenberg) для описання сходства взаимодействии протона и нейтрона. Считается, что нзотопнч. симметрия описывает точное свойство инвариантности сильных взаимодействий, хотя получаемые из неё соотношения в действительности всегда нарушаются на уровне точности порядка одного илн неск. процентов.