Физическая энциклопедия Том 4 - Порохов А.М.
Скачать (прямая ссылка):
Группы симметрии кристаллов. Кристаллу может быть присуща не одиа, а неск. операций симметрии. Так, кристалл кварца (рис. 1, а) совмещается с собой ие только при повороте на 120° вокруг оси 3 (операция gi), но и при повороте вокруг оси 3 на 240° (операция ^2), а также при поворотах на 180° вокруг осей 2Х, 2у, 2W (операции g3, gA, gb). Каждой операции симметрии может быть сопоставлен элемент симметрии — прямая, плоскость или точка, относительно к-рой производится данная операция. Напр., ось
3 или оси 2Х, 2у, 2W являются осями симметрии, плоскость т (рис. 1,6) — плоскостью зеркальной симметрии и т. п. Совокупность операций симметрии {gi, g2, ..., gn} данного кристалла образует группу симметрии G е (gi, ..., gn) в смысле матем. теории групп. Последоват. проведение двух операций симметрии также является операцией симметрии. В теории групп это обозначают как произведение операций: gigk^gi- Всегда существует операция идентичности goi ничего не изменяющая в кристалле, наз. отождествлением, она геометрически соответствует неподвижности объекта или повороту его на 360° вокруг любой оси. Число операций, образующих группу G, иаз. порядком группы.
СИММЕТРИЯ
Группы симметрии преобразований пространства классифицируют: по числу п измерений пространства, в к-ры* они определены; по числу т измерений пространства,® к-рых объект периодичен (их соответственно
обозначают G&), и по иек-рым др. признакам. Для
описания кристаллов используют различные группы симметрии, из к-рых важнейшими являются точечные группы симметрии G?, описывающие
виеш. форму кристаллов; их наз. также кристал-лографич. классами; пространственные группы симметрии Gl описывающие атомную структуру кристаллов.
Точечные группы симметрии. Операциями точечной симметрии являются: повороты вокруг оси симметрии порядка N на угол, равный 380° ZN (рис. 2, а); отражение в плоскости симметрии т (з е р к а л_ь и о е Отражение, рис. 2, б); инверсия 1 (симметрия относительно точки, рис. 2, в); инверсионные повороты R (комбинация поворота на угол 360°/iV с одноврем. иивсрсией, рис. 2, г). Вместо
Рис. 3. Примеры кристаллов, принадлежащих к рааньш точеч* ным группам (кристаллографическим классам): а — к классу m (одна плоскость симметрии); б — к классу 1 (центр симметрия или центр инверсии); в —_к классу 2 (одна ось симметрии 2-rq порядка); г — к классу б (одна инверсионно-поворотная ось 6-го порядка).
или матрицей коэффициентов
D-
aH aIa й13
®21 °22 а23
®31 ®32 O33
(3)
Напр., при повороте вокруг оси Xi на угол ос =360°/iV матрица D имеет вид:
cosa —sina 0
sina cosa 0
0 0 1
а при отражении в плоскости х\хг D имеет виді
1 0 0
0 1 0
0 0 -1
Число точечных групп Gjf бесконечно. Однако в кристаллах ввиду наличия кристаллич. решётки возможны только онерации и соответственно оси симметрии до 6-го порядка (кроме 5-го; в кристаллич. решётке не может быть оси симметрии 5-го порядка, т. к. с помощью пятиугольных фигур нельзя заполнить пространство без промежутков). Операции точечной симметрии и соответствующие им элементы симметрии обозначаются символами: оси 1, 2, 3, 4, 6, инверсионные оси Г (центр симметрии или центр инверсии), 2 (она же — плоскость симметрии т), 3, 4, 6 (рис. 4).
510
Рис. 2. Примеры операций симметрии: а — поворот; б — отражение; в — инверсия; г — инверсионный поворот 4-го порядка; в — винтовой поворот 4-го порядка; е — скользящее отражение.
инверсионных поворотов иногда рассматриваются эквивалентные им зеркальные повороты ^. Геометрически возможные сочетания операций точечной симметрии определяют ту или ииую точечную группу симметрии, к-рая изображается обычно в стереографич. проекции. При преобразованиях точечной симметрии по крайней мере одиа точка объекта остаётся неподвижной — преобразуется сама в себя. В ней пересекаются все элементы симметрии, и она является центром стереографич. проекции. Примеры кристаллов, относящихся к различным точечным группам, даны на рис. 3.
Точечные преобразования симметрии g[xi, х2, х3] — «= xj, x's, X^ описываются линейными ур-ниями
х1—а11х1~{~а12х2~\~а13х3у
X —й^х^-^-а^х^-^-а^х^у С2э)
2
3=Я311 “Ь а32 2 “Ь а 33
T о
PO ¦ 4 ф
з ^ 6 ф
з А 6 ф
і
T
J
Рис. 4. Графические обозначения элементов точечной симметрии: а — кружок — центр симметрии, оси симметрии, перпендикулярные плоскости чертежа; 6 — ось 2, параллельная плоскости чертежа; в — оси симметрии, параллельные или косо расположенные к плоскости чертежа; г — плоскость симметрии, перпендикулярная плоскости чертежа; д — плоскости симметрии, параллельные плоскости чертежа.
Для описания точечной группы симметрии достаточно задать одну или неск. порождающих её операций симметрии, остальные её операции (если они есть) возникнут в результате взаимодействия порождающих. Напр., для кварца (рис. 1, а) порождающими операциями являются 3 и одна из операций 2, а всего операций в этой группе 6. В международные обозначения групп входят символы порождающих операций симметрии. Точечные
группы объединяются по точечной симметрии формы элементарной ячейки (с периодами а, Ь, с и углами а, Р, 7) в 7 сингоний (табл. 1).
