Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Порохов А.М. -> "Физическая энциклопедия Том 4" -> 452

Физическая энциклопедия Том 4 - Порохов А.М.

Порохов А.М. Физическая энциклопедия Том 4 — М.: Большая российская энциклопедия, 1994. — 701 c.
Скачать (прямая ссылка): fizenciklopedt41994.djvu
Предыдущая << 1 .. 446 447 448 449 450 451 < 452 > 453 454 455 456 457 458 .. 818 >> Следующая


ь ь

5 = j*Iarj8Cif=J ZyXiXHt.

а а

Близкие точки X, у рнманова пространства всегда можно соединить локально единственной геодезической, длина к-рой и будет равна расстоянию р(х,у). Риманово пространство наз. геодезически полным, если любая геодезическая х‘(f) неограниченно продолжается по t. В полном римаиовом пространстве любые две точки можно соединить геодезической (вообще говоря, не единственной). Изучение глобальных свойств геодезических рнманова пространства составляет важный раздел вариационного исчисления в целом. По-скольну многие ур-ния классич. механики могут быть записаны в виде ур-ннй геодезических, методы теории геодезических применимы для получения качеств, информации о характере механич. движения. В общей теории относительности, где массивные частицы движутся по времениподобиым (а безмассовые — по изо-тропиым) геодезическим индефинитной метрики,, в основном изучаются именно такие геодезические. Нек-рые их глобальные свойства допускают физ. интерпретацию. Так, наличие замкнутых геодезических означает нарушение причинности. Геодезич. неполнота трактуется как иаиб. универсальный способ определения сингулярности пространства-времени.

Важная задача Р. г.— установление зависимости мбжду геометрией рнманова пространства и его топологией. Простейшим примером такой зависимости является ф-ла Гаусса — Бойне, справедливая для замкнутой двумерной поверхности:

~Ьг§ ««-1-І.

где К — гауссова кривизна поверхности, do — элемент площади, g — топологич. характеристика поверхности, равная числу ручек (иапр,, для сферы g — 0, для тора g = 1). Для многомерных римановых пространств строятся более сложные топологич. характеристики (характеристич. классы), вычисляемые в виде интегралов от инвариантов тензора кривизны. Известны также теоремы, выводящие топологич. ограничения на рнмаиово пространство иа соотношений типа неравенств для его кривизны. Простейшим примером является такое утверждение: полное односвязиое (т. е. любой замкнутый путь стягивается в точку) риманово пространство отрнцат. кривизны топологически евклидово.

Комплексный аналог Р. г.— теория пространств с эрмитовой метрикой, записываемой в комплексных координатах z1,...,zn в виде ds2 — gijd^dzj (черта означает комплексное сопряжение), причём gji — gij. В частности, двумерная метрика может быть записана в комплексном виде ds2 — g(z,z)dzdz, если ввести изотермнч. координаты г1, а:2, такие, что g^ = g&>}, и положить

z = X1 -f- Ixt, 2 = Xt — txz (здесь і — комплексная едя-ница). Конформные преобразования сводятся тогда к комплексно-аиалнтнч. заменам, z —>¦ w(z), dwldz = О, и сопряжению z —*z.

Большинство методов Р. г. переносятся иа псевдорц-мановы пространства, в к-рых задана индефинитная метрика, и поэтому являются осн. аппаратом общвр теории относительности.

Лит.: Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Теория полй,

7 изд., М., 1988; Рашевский П. К., Риманова геометрия і тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; Фон В. А., Теория проста ранства, временя и тяготения, 2 изд., М., 1961; Дубровин В. А. ,Новиков С. П., Фоменко А. Т., Современная геометрия, 2 изд., М., 1986; и х же, Современная геомер* рия. Методы теории гомологий, М., 1984. Б. А. Дуброви».

РЙМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ — поверхность, локально устроенная как область комплексной плоскости С (комплексное аналитич. многообразие). Если X — нек-рая поверхность (многообразие), представимая в виде объединения открытых подмножеств {?/*}, иаждое из к-рых эквивалентно нек-рой области Qt- в С, то говорят, что на X задана структура Р. п. Др. словами, существуют ф-ции fi, непрерывно и взаимно однозначно отображающие Q* иа причём для любой пары индексов і и / ф-цнн перехода/• -fi являются аналитическими функциями, взаимно однозначно отображающими на Zy1^ifliZj). Пара (?/*, fi) наз.

картой, а совокупность всех карт, покрывающих X, — атласом. Ниже приведены примеры Р. и.

1. Всякая область QbC является Р. п. При этой атлас можно выбрать состоящим из одной карты, поло* жив U — Q и /, равной тождеств, отображению.

2. Расширенная комплексная плоскость (сфера P и м а н а) С, получающаяся добавлением к с бесконечно удалённой точки, является Р. п. В этом случае атлас можно выбрать состоящим из двух карт, положив, напр.,

Vі={2ЄС: I z I <2), U(Z)=Zf

U2= {2ЄС: I zI >1}, f2(z)=l/z.

Ф-ция Д отображает круг {|z| < 2} на себи, а ф-ция /а отображает внешность единичного круга на единичный круг. При этом бесконечно удалённая точка переходит в нуль.

3. Р. п, аналитич. ф-цни. Если ф-ция f(z), первоначально заданная в нек-рон окрестности точки zQ, допускает аналитическое продолжение вдоль к.-л. замкнутого контура, причём в результате этого продолжения получается ф-ция с др. значениями в окрестности Z0, то точку Z0 до обхода этого контура и ту же точку после его обхода естественно считать разл. точками. Проводя эту процедуру со всеми точками первоиач. области определения ф-цни, получаем в результате неоднолистную область, имеющую структуру Р. п. и называемую Р. п. ф-цни /(г). Прн обходе вдоль контура описанного выше типа говорят о переходе Р. п. на другой лист. Р. п. аналитич. ф-ций позволяет рассматривать многозначные функции в С как однозначные ф-ции иа своих Р. п.
Предыдущая << 1 .. 446 447 448 449 450 451 < 452 > 453 454 455 456 457 458 .. 818 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed