Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Порохов А.М. -> "Физическая энциклопедия Том 4" -> 451

Физическая энциклопедия Том 4 - Порохов А.М.

Порохов А.М. Физическая энциклопедия Том 4 — М.: Большая российская энциклопедия, 1994. — 701 c.
Скачать (прямая ссылка): fizenciklopedt41994.djvu
Предыдущая << 1 .. 445 446 447 448 449 450 < 451 > 452 453 454 455 456 457 .. 818 >> Следующая


i=l i=l где — собств. векторы матрицы а^-, соответ-

ствующие её собств. значениям №w>.

В том случае, когда для каждого значения ц, можно

п

найти ф-цию г'11’ такую, что ур-ния

(2) упрощаются:

п

(11)

-IT + Z1i W,,)=°. (3)

і= I

В частности, если bi = 0, каждая величина г**> сохраняется вдоль соответствующей характеристики; в этом случае величины наз. инвариантами Рина а а. Инварианты Римана всегда можио ввести, вели п = 2, а также для линейных систем (I). В случае в ^ 3 инварианты Римана существуют только при выполнении специальных ограничении аа производные иатрицы Инварианты впервые были введеаы

Б. Римаиом (В. Riemann) в 19 в. при рассмотрении ур-ний газовой динамики. В общем случае, когда ty Ф 0, величины г*ц> иаз. переменными Римана.

Следует отметить, что Р. в. существуют, вообще говоря, в течение ограниченного времени нз-за пересечения характеристик, определяемых начальными условиями (см. Самовоадействие волн).

' Лит.: У и з е м Д ж., Линейные и нелинейные волны, дер. (Ї англ., М., 1977. В. А. Моломед.

Р0М АН А ТЁНЗОР — то же, что кривизны тензор. РЙМАНОВА ГБОМЁТРИЯ — геометрия риманова цространства. Оси. понятия Р. г. являются обобщением понятий евклидовой геометрии на пространства с произвольным метрическим тензором g?j.

Скалярное произведение касательных векторов S = (I11...,^), т] = Cn1,V¦, л") в точке х определяется ф-ЛОЙ (?,Т]) ~ giijzj&rf- Это позволяет определить ,Клины векторов (|?| = у"(?,?)) и углы между векторами

* даииой точке. Длина (s) кривой, Xі — a^(f), і — I,..., Ж, a ^ t ^ Ь, определяется ф-лой

ъ

S= Jlxjd;, а

где X — (X1,...,Xn) — вектор скорости.

Расстояние р(*,у) между точками г и у определяется как минимум длин кривых, соединяющих точки X н у. Ф-ция р(*,у) задаёт метрику в римаиовом пространстве.

Объём области U римаиова пространства определяется ф-лой

V(CZ)=^yrdet(tfij) dx1... dxn.

На ft-мерной поверхности, заданной в римаиовом прост-

к

раастве в параметрич. виде,®* = ^‘(ц1,...,!* ), і = 1,..., п, возникает метрич. тензор

Ox1 дх*

аи“ ди* gii*

наз. первой квадратичной формой поверхности. Длины кривых, углы и объёмы Аг-мериых областей аа поверхности вычисляются в терминах внутренней геометрии, т. е. через первую квадратичную форму. Р. г. двумерных поверхностей в трёхмерном евклидовом пространстве широко применяется в механике оболочек. Большое вннмаиие уделяется изучению минимальных поверхностей, т. е. экстремалей функционала А-мерного объёма. Простейшей их физ. реализацией (при к — 2) являются мыльные плёнки. Считается, что двумерные минимальные поверхности в пространстве Мииковского описывают классич. динамику струны релятивистской.

Диффереиц. исчисление тензоров в римановом пространстве основано аа введении симметричной связности, согласованной с метрикой gу. Бё Кристоффеля символы имеют вид

ГА:____I Jelf . &вл ________ Qgij \

ij 2 \ дх* Qxi дх1 ) ’

Кривизны тензор этой связности определяет кривизну риманова пространства, характеризующую его отличие от евклидова.

Движения 'риманова пространства определяются как преобразования, сохраняющие метрику.

О дао параметрич. группы движений определяются векторными полями Киллнига ?*(*),, удовлетворяющими соотношениям: YiSj + VjEi = 0, гДе к

= ’ Vi — ковариантная производная. Сдвиги

вдоль траекторий системы, х‘ = E1 (я), і = 1, ..., n, оп-ределяют движения пространства. Движения м-мерного римаиова пространства образуют группу Ли, размерность к-рой не превосходит п{п — 1)/2. Для общих римановых пространств эта группа тривиальна; примерами пространств с группой движении макс. размерности служат евклидово пространство, сфера (метрика gij = 46{j[l + 2(жг)а]а, — Кронекера символ),

пространство Лобачевского (метрика gij ~ 4б^[1 —

— 2 (я*)2]2. Если группа движений достаточно богата, так что с помощью движения любую точку х можао перевести в заданную точку у, то рнманово пространство наз. однородным. Если для любой точки существует двнжеиие, являющееся симметрией пространства с центром в этой точке, то однородное пространство иаз. симметрическим. Локально симметрические пространства выделяются условием постоянства кривизны, = 0* Теория симметриче-

ских и римановых однородных пространств сочетает прииенение Р. г. и методов теории групп Ли, Идея и методы этой теории используются при изучении однородных космологических моделей общей теории относительности.
РЙМАНбВА

Конформными наз. такие преобразования ри-манова пространства, прн к-рых метрика подвергается растяжению, gij(x) —*¦ h,{x)gij(z). Конформные преобра-зоваиая n-мерного рнманова пространства прн п ^ 3 образуют группу JIh, размерность к-рой не превосходит (п -f- 1)(л + 2)12. Инвариантностью относительно конформных преобразований обычно обладают теории без-массовых частиц.

Геодезическая линия — экстремаль функционала длины, рассматриваемого иа кривых с закреплёнными концами. Ур-ния геодезических имеют вид

?'+г'Л(*)^**=0.

Геодезические могут быть получены также как экстремаль функционала действия:
Предыдущая << 1 .. 445 446 447 448 449 450 < 451 > 452 453 454 455 456 457 .. 818 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed