Физическая энциклопедия Том 4 - Порохов А.М.
Скачать (прямая ссылка):
Каждая локально суммируемая ф-ция f(x) в областн OcIRn задаёт распределение (обобщённую функцию) / є Df(O) по правилу
(/,фН^/ИфИ^я, ф€Д(0)
(такое распределение наз. регулярным). Если же f(x) не является локально суммируемой, то интеграл справа расходится и для придания ему смысла используется Р. При этом разл. Р. порождают разл. рас пределе-иня, и выбор конкретной Р. диктуется решаемой физ.
302 задачей.
Пример. Ф-ция х~г не является локально суммируемой в R1. Она имеет регуляризаций рх~1, (х 4* H- Ю)"1, (х — *0)“1, где
(р-і-,ф)-к.Р.^<г*=: Hm {] + 5° -2Tl^xJ1
—оо -(-С
ф€В(1К1)'
где V. р. означает главное значение интеграла. Остальные Р. ф-ции х“1 получаются линейными комбинациями приведённых.
Р. применяется также для представления данного распределения в виде предела последовательности регулярных распределений. Напр., дельта-функция Дираке имеет Р.
(6(*),ф(*))=ф(0)= Km ~Н ,.,I., <Р(*)<**. фЄОД1)-
Обычно Р. распределений используется при перемножении распределений. Напр.,
( я+іО x-fiO ’ *^) ((jc-f-iO)* * ^)
= “» я>ео(к>).
<*+««)¦ ’
Известный физ. пример — перемножеиие одночастотных ф-ций в квантовой теории поля. Часто, иапр. при перемножении причинных ф-ций, такая процедура ие приводит к однозначному ответу н требует доопределения, согласованного с физ. контекстом задачи (см. Ультрафиолетовые расходимости, Перенормировки). Пример подобного доопределения — R-операция Боголюбова — Парасюка. О др. конкретных приёмах Р., применяемых в физ. приложениях, см. в ст. Регуляризация расходимостей в квантовой теории поля.
Лит.: Боголюбов Н. H., Ширков Д. В., Введение в теорию квантованных полей. 4 изд., М., 1984; Владимиров В. С., Обобщенные функции в математической физике,
2 изд.. М., 1979. В. В. Жаринов.
РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ РАСХОДИМОСТЕЙ в к в а и т о-
вой теории поля (КТП) — вспомогат. операция, заключающаяся в замене пропагаторов или интегралов от их произведений (соответствующих локальной КТП) иа нек-рые аппроксимирующие их выражения, не содержащие ультрафиолетовых расходимостей или соответствующих им в координатном представлении сингулярностей на световом конусе. Такие рогуляри-зоваиные интегралы явно вычисляют (в импульсном представлении), а затем уже в вычисленных выражениях производят операцию, обратную введению регуляризации, т. е. переходят к реальному физ. пределу. УФ-сингуляриости при этом выделяются в виде аддитивных составлиющих, имеющих простую (напр., полиномиальную) структуру по виеш. импульсам.
Необходимость Р. р. иаи0. просто увидеть в х -представлении. В квантовополевых расчётах приходится иметь дело с произведениями пропагаторов Д(я), обладающих сингулярностями типа полюса Mxt и дельта-функции Дирака по квадрату 4-мерного интервала X2 = (х°у — X2 [здесь х(х°, х) — точка пространства-времени; используется система единиц, в к-рой к — с = 1]. Ясно, что квадраты п более высокие степени таких сингулярностей [напр., 62(j-2)] ие определены математически даже в смысле обобщённых функций. Для соответствующего доопределения удобно пметь регулярные (т. е. не имеющие особенностей) приближения к А нли к произведениям нескольких Д. Такие приближения и получают посредством вспомогательной р. р.
В квантовополевых вычислениях по теорин возмущений получили распространение неск. разл. регуляризаций. Среди них наиб, употребительны следующие*
Регуляризация обрезанием состоит во введении конечного верхнего предела Л (называемого также импульсом обрезания) при интегрировании по 4-импульсам виртуальных частиц. Так, напр., фейнмаиовский интеграл, отвечающий простей'
_ г _ Диаграмма вакуумной поляризации фо-
тона; A, Р, P — к — 4-импульсы соответ-M ственно фотона и виртуальных электроиа * р^к и позитрона.
шей, одиопетлевой, диаграмме поляризации вакуума (рис.) в квантовой электродинамике
П*\k)={Un'§d*p Sp {/Sc(p)YvSc(p-*)b (1) прн регуляризации обрезанием принимает вид
regA П^А^і/я») J d*p Sp Sc(p) fSC(p-k)}, (2) ірі<л
где символ |р| < Л под знаком интеграла обозначает, что по всем четырём компонентам 4-импульса р интегрирование проводится в пределах от —Л до +Л. В приведённых ф-лах IIliv — поляризационный оператор, Y — Дирака матрицы (ft = О, 1, 2, 3), Sc(p) — пропагатор электрона в импульсном представлении (см. Фейнмана диаграммы).
Вычисление по ф-ле (2) с помощью стандартной техники даёт явное выражение, к-рое в пределе больших (по сравнению с массой электрона т и модулем виеш. импульса * = Vk*) значений А имеет вид
regA ITiv(A)=Jn*,AM-IFv(A), (3)
где Pitv — полином 2-й степени по компонентам 4-вектора Av с коэф., пропорц. Aa и In(A2)t a Rtfv — конечная ф-ция от А“ и т~. Её явный вид несуществен. Отметим лишь, что при больших A8 она имеет логарнфмич. асимптотику
Riew(A)CO(e^v*a—Jfe^Jfc'*') -~ln А2,
(4)
где — метрич. тензор пространства-времени Мин-ковского. Представление (3) оказывавши удобным для проведения перенормировки, т. е. устранения бесконечностей. Результативно она сводится к вычитанию из правой части (3) первого, сингулярного в пределе Л —> оо слагаемого. Поскольку разбивание regAn иа слагаемые P и fi содержит произвол, то возникает вопрос о степени однозначности определения конечной части IItiv поляризац. оператора. Одно из условий, к-рому должно удовлетворять П,— условие поперечно-сти AliIIuv (А) = 0, вытекающее пз требования калибровочной инвариантности. Это условие диктует тензорную структуру матрицы П:
