Физическая энциклопедия Том 4 - Порохов А.М.
Скачать (прямая ссылка):
Главные расслоения. Р. | иаз. главным, если слой Р. совпадает с группой G.
П р и м е р. Рассмотрим тройку ? = (G, В, GjH). Здесь G — группа Ли, H — замкнутая подгруппа, GfH — фактор-пространство. Можно показать, что ? является Р. с базой GfH, слоем H и пространством P. G,
H
p-G^G/H.
В частности, если G — SO{n), a H = SO(n — 1), то GlH = Sn-1.
Р. можно построить и в более общем случае Gn H r> H1. Здесь H и H1— замкнутые подгруппы в G н H соответственно. Тройка (GIH0, H1IH0, GIH) является P. (H0 — наиб, нормальный делитель группы H1 принадлежащий H1). Наиб, важный пример Р. этого типа: SO(/i — /r)
SO(ra) —>• SO(n)lSO(n — к). Это Р. иаз. пучком сфер. Базой является пространство ортонормировапных Ar-реперов в п~мерном пространстве Штифеля. Аналогично можно рассмотреть Р. с базой комплексного пространства Штифеля: SU(n)/SU(n— А).
Р. с дискретным слоем F наз. накрытием. Напр., вещественная прямая R1 служит накрытием над окружностью S1, R1 —> S1, слой F = Z.
Расслоение Хопфа. Классич. расслоение Хопфа задаётся отображением р : S3 —* S2, а слой F — G — S1. Определим S3 как множество пар комплексных чисел (Z1, Z2) с условием Iz1I2 + Jz2Ia — 1. Поставим в соответствие паре (Z1, г2) число w = XlIzi. Если га = 0, то положим w = со. Множество {и;} образует пополненную бесконечно удалённой точкой комплексную плоскость CUoo~Sa. Т.к. точки (г', г') = (CXp(Itp)Zll exp(itp)z8) и (zlt z2) отображаются в одну и ту же точку w, то слой F = S1. С классич. расслоением Хопфа и его обобщениями связаиы фуидам. достижения в математике. Напр., доказано, что существование только четырёх алгебр с делением эквивалентно утверждению о существовании только четырёх главных Р. вида Sn^+S^'.S1-+S1, S1 S* 16 S7
Sa->52, S7-^Si, S —>SH. В физике расслоение Хопфа возникает при описании монополя Дирака.
В топологии разработаны спец. конструкции, позволяющие детально изучать глобальные характеристики расслоённых пространств. Оси. аппаратом является теория характеристич. классов.
Расслоение в физике. Теория Р. находит применение 284 в ряде разделов теории поля, теории коидеисиров. сред и
гравитации. Наиб, интересны применения теории Р. в теории калибровочных полей, где Р. являются геом. конструкцией, адекватной идее калибровочного поля; точнее, калибровочное поле есть связность в главном Р. со структурной группой G, определяющей калибровочные преобразования. Напр., в классич. электродинамике группа G ~ ?7(1), а в теории Яига — Миллса G — полупростая группа Ли IG = 50(2), SU(2) х U (І) и т. п.].
Фундам. вопросы теории калибровочных полей допускают геом. формулировку. Напр., согласно физ. принципу относительности, реальной физ. конфигурации отвечает класс калибровочно эквивалентных иоифигура-ций. Условие выбора однозначного представителя в каждом классе эквивалентных конфигураций, необходимое при вычислении континуальных интегралов, эквивалентно построению сечейия в соответствующем Р. Можно показать, что локально такие сечения всегда существуют. Одиако глобальных сечеиий (калибровок) построить нельзя. Этот важный результат (гри-бовские неоднозначности) следует из чисто тополо-гич. рассмотрений [теорема И. М. Зингера (I. М. Singer)]. При доказательстве теоремы Зингера исполь-зуетси техника бесконечномерных Р.
Ряд важных физ. явлений допускает геом. интерпретацию, использующую понятие редукции Р. Напр., теорию Мансвелла рассматривают иад физ. пространством Мииковского — M4. Поля Максвелла определены вад топологически тривиальным (стягиваемым) пространством. Если же включить в теорию магнитные монополії (частицы с маги, зарядом, заданные в фиксиров. точках пространства M4), то получим поля Максвелла над яе-стягиваемым пространством, иапр. иад S2 (при наличии одного монополя). Др. пример редукции Р. связан с возможностью построения спец. классов полей и тем самым ур-ний иа многообразиях. Многообразие иаз. спи-иориым (обладает сппиорной структурой), если структурная группа его касательного Р. может быть редуцирована от группы SO(л) к Spin(n). Необходимым и достаточным условием этого является обращение в нуль топологич. инварианта (характеристич. класса), т. и.
2-го класса Штифеля — Уитии ш2. Напр., комплексное проективное пространство <СРп имеет спииориую структуру только при нечётном п. Наличие спииорной структуры позволяет ввести на многообразии аналог Дирака уравнения. К изучению ур-ний Дирака иа «-мерных Р. приводят сов р. проблемы аномалий в квантовой теории, разл. модификации теоремы об индексе Атьи — Зингера и т. п.
Новые приложения теория Р. получила в теории гравитации. Хотя гравитац. иоле и ие представляется в виде калибровочного поля (по типу эл.-маги. поля или поля Яига — Миллса), использование спец. класса Р.— твисторов Пеироуза позволяет продвинуться в решении сов р. проблем квантовой гравитации.
JIum.; С т и н р о д H., Топология косых произведении, пер. с англ., М., 1953; Славнов А. А., Фаддеев Л. Д., Введение в квантовую теорию калибровочных полей, 2 ипд., М., 1988; Дубровин Б. А., Новиков С. П., Ф о * с и-к о А. Т., Современная геометрия, 2 изд., М., 1986; Мил-нор Д., Сташеф Д., Характеристические классы, пер. с англ., М., 1979; Твиеторы и калибровочные поля. Сб. ст., и pp. с англ., М., 1983; Геометрические идеи в физике. Сб. ст., пер. с англ., М., 1983; Ш утц Б., Геометрические методы матема. тической физики, пер. с англ., М., 1984. М. Я. Монастырский.
