Физическая энциклопедия Том 4 - Порохов А.М.
Скачать (прямая ссылка):
-j-A j7 L1-IfiliA. —
и т. п.
Алгебра Ли, связанная с операторами описывается соотношениями
[Аа,лр]=гс Ay
(H)
(по индексу у подразумевается суммирование). Ф-лы (H) фактически совпадают с соотношениями, определяющими Ли алгебру соответствующей группы симметрии квантовой системы, где Cap — т. н. структурные и о и с т а н т ы. Следует иметь в виду, что в физ. лит-ре генераторы, как правило, являются эрми-товскими операторами, тогда как в матем. лит-ре — антиэрмнтовскими. По этой причине в правой части соотношения (11) возникает мннмая единица і, и возможно появление множителя (—1).
В ряде случаев складывается, в известном смысле, обратная ситуация, если не все из имеющихся в дайной задаче интегралов движения связакы с явной (следующей нз геом. соображений) группой симметрии. Если коммутатор любой пары интегралов движения линейно выражается через все интегралы движения
n J J .J аі А , А 1=6 А —б А ,
і к А і к к і
“р
?12)
можно попытаться иайти группу, алгебра Ли к-рой описывается соотношениями (12). Если такая группа существует, то о ией говорят как о группе «скрытой» симметрии задачи (прн этом числа являются
структурными константами этой группы). Следующие примеры иллюстрируют изложенное.
1. Свободная частица массы иг с импульсом р: Pl = Pi 12 т. Группа симметрии — группа движений трёхмерного пространства (совокупность трёхмерных вращений и произвольных трансляций). Имеющиеся в данной задаче интегралы движения — компоненты импульса р и момента импульса L = [г р], делённые на ft, представляют собой набор генераторов упомянутой группы.
2. Частица в трёхмерном центр, поле: Й = p-i/2m + -f- U(г). Группа симметрии задачи — группа трёхмерных вращений 0(3). Компоненты момента импульса L (в единицах Н) являются генераторами группы 0(3).
3. Трёхмерный изотропный осциллятор: H = р*!2т-\--f- mco2i*2/2. Явная (геометрическая) симметрия задачи — 0(3). Кроме момента импульса L имеется ещё три очевидных интеграла движения
представляющими собой канонич. форму алгебры Ли группы трёхмерных унитарных преобразований U (3) — группы «скрытой» симметрии трёхмерного изотропного осциллятора. Отсутствие множителя і в правой части предыдущего соотношения обусловлено иеэрмитовостью (вообще говоря) иифинитезимальньїі операторов А ?.
4. Атом водорода. В атомных единицах (е = h = — т = 1) гамильтониан задачи имеет вид ҐІ = і? 12—і Jr. Кроме момента импульса L (безразмерного в используемых единицах) задача обледает специфич. векторным интегралом движения, т. н. вектором P у н г е Ленца:
A f I AA. А 4А
А==Т + *Т [Lpl~T [*L]-
Удобно ввести «нормированный» вектор Рунге — Леица, имея в виду отрицательность энергии в связав-иых состояниях атома водорода:
N=-
V-2Н
А.
т<о*х,
2т
к = 1,2, 3 — сохраняющиеся энергии трёх независимых осцилляторов, отвечающих колебаниям вдоль трёх декартовых осей. Оив взаимно перестановочны. Коммутаторы вида [/??, Li] порождают интегралы движения
Jf1= РіРі - -{-та)2х2х3
Tti
и т. п. Удобно перейти к следующим операторам:
Aj. а + * a ma)ij-fipj m<axk~ipk
Al=ak*1' °l== V*2tn7U0 ; ak~ V5Sn3 1
через к-рые исходные интегралы движения выражаются 176 в виде линейных комбинаций
Коммутац. соотношения между операторами La и Nt имеют внд
[Na, N,] Z/y,
eafr — ПОЛНОСТЬЮ антисимметричный единичный ПСЄВ’ дотеизор в пространстве трёх измерений. Последние соотношения представляют собой алгебру Ли группы вращений четырёхмерного евклидова пространства 0(4) — группу «скрытой» симметрии атома водорода.
Аналог П. с. может быть получен в классич. теории поля, если описание этого поля допускает примененпе гамильтонова формализма. Для двух дииамич. величин F и С, характеризующих поле как целое, т. е. являющихся интегральными характеристиками поля к тек самым функционалами гамильтоновых переменных I (г, t) н n(r, t) (играющих роль обобщённых координат и импульсов гамильтоновой, системы с конечным числом степеней свободы), П. с. определяются COOTHO' шением
кл. поле:
б F б а 6я 6g
б я )
(13)
где б/бя, б/б| — т. и. функциональные производные, имеющие в простейшем случае скалярного поля (и лаг-раЬжиаиа 1-го порядка) вид
CF________df_ 6G dg _ д і dq \
6Я ~ 0л ’ 61 0| Qr I avfc У
fug — плотности величии F и G:
, *)»Чг. *) У1)^Гу,
G — определяется аналогичным образом.
Лит.; Ландау Л. Д., JI и ф ш и ц Е. М., Квантовая механика, 4 ИЗД., М., 1989; и х ж е, Механика, 4 изд., М., 1988; Шифф Jl., Квантовая механика, пер. с англ., 2 изд., М., 1950; Гантмахер Ф. Р., Лекции по аналитической механике, 2 изд., М., 1966; JI а н ц о л К., Вариационные принципы механики, пер. с англ., М., 1965; X а ар Д. тер. Основы гамильтоновой механики, пер. с англ., М., 1974; Джениер М., Эволюция понятий квантовой механики, пер. с англ., М., 1985.
С. П. Аллилуев.
ПУАССОНА УРАВНЕНИЕ — неоднородное диффе-ренц. ур-иие в частных производных
Аи(х)=—f(x),
где А — Лапласа оператор, х — (^1,..., хп). Краевые задачи для П. у. сводятся к соответствующим задачам Лапласа уравнения подстановкой