Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Порохов А.М. -> "Физическая энциклопедия Том 4" -> 200

Физическая энциклопедия Том 4 - Порохов А.М.

Порохов А.М. Физическая энциклопедия Том 4 — М.: Большая российская энциклопедия, 1994. — 701 c.
Скачать (прямая ссылка): fizenciklopedt41994.djvu
Предыдущая << 1 .. 194 195 196 197 198 199 < 200 > 201 202 203 204 205 206 .. 818 >> Следующая


Лит.: Боголюбов Н. H., Логунов А. А,, Топоров И. Т., Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля, М., 1969; Новожилов Ю. В., Введение в теорию элементарных частиц, М., 1972; Мишель Л., Ш а а ф М., Симметрия в квантовой фигике, пер. с англ.. М., 1974; Б а-рут А., Рончка Р., Теория представлений групп и ее приложения, пер. с англ., т. 1—2, М., 1980; Эллиот Дж., Добер П,, Симметрия в фигике, пер. с англ., т. 1—2, М., 1983.

С. И. Азанов.

ПУАНКАРЕ ТЕОРЕМА о возвращении — одна из осн. теорем, характеризующих поведение динамической системы с инвариантной мерой. Примером такой системы является гамильтонова система, эволюция к-рой описываемся решениями Гамильтона уравнений qi = дН/дрі, Pi= — дН/д$і Iqi и Pi — канонич. координаты и импульсы; і — 1, ..., »; H = Н(р, q) — Гамильтона функция; точкой обозначено дифференцирование по времени ?]. Инвариантной (сохраняющейся

«

при эволюции) мерой служит объём f TTdPjdqj области

A i=l

А в фазовом пространстве M, сохраняющийся в соответствии с Лиувилля теоремой. Согласно П. т., через любую окрестность U любой точки х — (pi, <?.{), принадлежащей инвариантному множеству конечной положительной меры из M4 проходит траектория, к-рая возвращается в U. П. т. доказана А. Пуанкаре в 1890.

Общая динамич. система описывается одиопарамет-рич. группой отображений f фазового пространства на себя; для точки х из M /*(х) = x(J), причём fi+t%(x) = = /*.»(/*і(х)), /°(х) = х0. В общем случае M — нек-рое пространство с мерой [і, инвариантность к-рой означает, что Mft(A)) = ц(4) для любой области А из М. Напр., если /*(х) — решение системы дифференц. ур-ний х = Х(х) с иач. условием /°(х) = х0, то иива-

,|д риантиая мера |х(Л) = §p(x)dx, где р(х) — иеотрицат.

решение Лиувилля уравнения div(p(x)X(x)) = 0. Если ф-ция Гамильтона H не зависит от времени явно, она сохраняется,а траектории не покидают поверхность уровня Afc: Н(р, q) = с в М. При grad H^ 0 иа Mc инвариантная мера на поверхности уровня задаётся соотношением djx — da/|grad.ff|, где da — элемент объёма иа Mc.

В общем случае П. т. утверждает, что у дииамич. системы с конечной инвариантной мерой для почти всех точек х?А при ц(Л) > 0 траектория /( (х) возвращается в А: найдётся такое т > 1, что /т(х) ? А. При ие-к-рых предположениях относительно M ГІ. т. усиливается: траектории возвращаются в А бесконечное число раз, т. е. устойчивы по Пуассону.

Примеры: в гамильтоновой системе ур-ний х = у, у — х — X9 все траектории, кроме траекторий, лежащих и а уровне H = 0, H = (у2 — х2 -\- х*/»)/2, являются периодическими, поэтому возвращаются в любую свою окрестность. Отображение / тора T2 с координатами (ф, -ф) (mod 2л), задаваемое соотношением (<р,

—> (2ф -j- "ф, ф -j- -ф), сохраняет площадь. Здесь периодических точек счётное множество, а через множество полной меры проходят траектории, ие являющиеся периодическими, но устойчивые по Пуассону.

Пусть F — любая непрерывная ф-ция иа фазовом пространстве M динамич. системы /*, удовлетворяющей условиям П. т. Тогда для почти всякой точки х € M и любого, сколь угодно малого е > 0 найдётся последовательность значеній *„—><», для к-ро4 If(X)- F(fln(x))\ < є, т. е. значение F(x) при движении вдоль траектории повторяется с любой заданной точностью. Ha это утверждение опирается известный парадокс классич. статистич. механики (парадоис возвратов Пуанкаре — Цермело), однако, строго говоря, ни одна из используемых для построения этого парадокса ф-ций (энтропия и т. д.) ие является ф-цией на фазовом пространстве.

Лит.: НемыцкиЙ В. В., Степанов В. В., Качест. венная теория дифференциальных уравнений, 2 изд., М.— Л.,-1949; Арнольд В. И., Математические методы классической механики, 2 изд.. М., 1979. Л, М. Лерман.

Явление выхода и возвращения точек области А в заданное с определ. точностью микроскопич. состояние — слишком нерегулярный процесс, чтобы его можно было оценить одним характерным временем, называемым временем возвращения Пуанкаре. Ср. время возвращения (цикл Пуанкаре)

Q*=IlV-(A),

где т — промежуток между измерениями; инвариант-иая мера ц,(Л) = ^(grad//(p, ^)|-1do, где интегрирование проводится по изоэнергетич. поверхности H(р, q) =

— const.

П. т. не даёт конструктивного построения самого воз* вращения и нуждается в его реализации с помощью нек-рого случайного процесса. Ср. время возвращения удалось оценить М. Смолуховскому (М. Smoluchowski, 1915) с помощью случайного процесса, моделирующего броуновское движение. Он показал, что цикл Пуанкаре значительно больше вероятного времени возвращения наблюдаемого макроскопич. состояния в исходное равновесное состояние.

П. т. рассматривает динамич. системы со строго фкксиров. энергией S1 В статистич. физике им соответствуют системы, описываемые микрокаиоиич. распределением Гиббса (см. Гиббса распределения). Энергия этих систем задана с точностью AS « S (AS можно принять равной ср. флуктуации энергии). Число состояний, находящихся в слое ДS [определяемое статистич. весом W (S, V, N), где N — число частиц, V — объём]* чрезвычайно велико. Аналогичное рассмотрение возможно и для др. ансамблей Гиббса.
Предыдущая << 1 .. 194 195 196 197 198 199 < 200 > 201 202 203 204 205 206 .. 818 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed