Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Порохов А.М. -> "Физическая энциклопедия Том 4" -> 116

Физическая энциклопедия Том 4 - Порохов А.М.

Порохов А.М. Физическая энциклопедия Том 4 — М.: Большая российская энциклопедия, 1994. — 701 c.
Скачать (прямая ссылка): fizenciklopedt41994.djvu
Предыдущая << 1 .. 110 111 112 113 114 115 < 116 > 117 118 119 120 121 122 .. 818 >> Следующая


Ш), М. BopHoMrifM. Воя») и JI, Йорданом (P. Jordan) й^го описаний физ. вёдичин й абстрактную алгеб-раач. схему g-чисел, в к-рой операции дифференцирования цо динамич. переменным классич. механики заменяются образованием коммутаторов с канонирски j сопряжёнными переменными. Для практйч. вычислений нужно реалвзовать элементы э;гой алгебры операторами в гильбертовом пространстве — пространстве достояний. Прн этом элементам, имеющим физ. смысл,— нвантовым наблюдаемым — должны отвечать самосопря-

1 жёйиые операторы, на с обе їв. векторов к-рых можно Набрать в пространстве состояний полную Систему. Коммутирующие операторы, относящиеся к одновременно ивМернмыМ наблюдаемым а* (см. Heonp«деланностей соотношения)+ обладают общей системой собств. векторов. Совокупность п независимых Коммутирующих опера,трров Ді наз. полным набором, еслн любой опбратор, коммутирующий со всеми Ді, является их фгцие#* .

Пусть — общая полная ристема собств.

Викторов такого набора:

. ... ,аж^іФв», .. .,ов» .

Тогда любоД веитор t|> нз пространства состояний

X мфкет\ бы*ь, разложен По байнсу ав :

" »--»«п)Фв1,. .Г,а„ *

(суммирован не провод «той! по всем собств. значениям }e) = aV’ в,,..;, «*), где On) нав, волно-

вой функцией в (/1і}-представленнш

причём скалярное произведение (.,», ...) в X определено ф-лой ,

. Oflt 1^ («!»•• •»««)•

{“)

Действие А\ сводится в {Л і)-представлении к умножению. на число; * .......

ДіЧ’К. •. •, «гі)=аі^(ві. • • •. a«).

а для любого другого самосопряжённого оператора С выражается через матричные элементы

c{a), {а*}~(Фв**... ,ая* ^Фа* , ... ,о^) в выбранном базис&

Clf(Al,... ,^)^==2 С{«).{«'* 'K V ’ ‘

¦ {«'>

Из существования разл. полных наборов коммутирующих операторов вытекает возможность разл. представлений. Переход от одного представлення к другому сводится к замене базиса в X:

* 2^(*) ’ (aMa)*

{а} {«)

При этом волновая ф-цня в {^!-представлении

W1,...,6m)=(^.9(6})=Sc7‘ ‘ •,в")»

{«}

или

у-+ иц,

связана с ^(at,..., ап) унитарным преобразованием: из свойств ортонормироваииости базисов вытекает

, {в)У {°> ЛЬ'} . {Ь‘ }’

{«}

нли

V ?7+=1.

Матричные элементы операторов преобразуются прн этом по ф-ле

С{*Ь<&'}“ 2 и{Ь),{<‘>сМ,{°’>и{я'>,<Ъ'}’ {«}.{«'}

нлн

C~*UCU~l.

Благодаря унитарности преобразования старая и новая системы матричных элементов н волновых ф-ций физически эквивалентны: спектры операторов, ср. значения и вероятности переходов совпадают.

Унитарные преобразования являются квантовым аналогом классич. канонич. преобразований. Эта аналогия He сводится, однако, к взаимно однозначному соответствию. С одной стороны, согласно принципу неопределенности, точные значения в данном представлении может принимать только половина квантовых наблюдаемых, причём имеется значит, произвол в выборе этой половины. Поэтому число квантовых представлений значительно больше числа наборов классич. канонич. переменных. С др. стороны, не все наборы классич. канонич. переменных имеют квантовый аналог. Простейшим примером служат переменные действие — угол: в отличие от действия, квантовый аналог угла ие существует как самосопряжённый оператор.

Опвсанная выше «идеальная» схема реализуется лишь в простейшем случае операторов с чисто точечнмм спектром. В действительности уже такне естеств. квантовые наблюдаемые, как иоординаты и импульсы, имеют непрерывный спектр и представлены неогранич» операторами. Собств. ф-ции нёограиич. операторов ие принадлежат гильбертову пространству и оказываются обобщёнными функциями. Сами эти операторы хорошо определены не на всём Xt а лишь на его плот-ном подмножестве, на к-ром указанные обобщённые ф-цнн являются линейными функционалами. При этом проблема иваитования ставится как задача конструирования представлений каиоиичеекпх перестановочных соотношений в X.

В простом, но нетривиальном примере бесструктурной частицы независимыми наблюдаемыми служат координаты Qi и нмпульсы Pi (i = 1, 2, 3), подчиняющиеся перестановочным соотношениям Гейзенберга:

Юі.Gjl=HVIQjtPkMMik.

В координатном представлении в качестве полного набора коммутирующих операторов выбираются Qi- Пространством состояний служит пространство Z8(IRa) квадратично интегрируемых комп-лексноэиачиых ф-ций ф(х), х = X1, xt, , со скалярным произведением

(ф1.фі)=$ф1(*)ф* (*)<**•
Действие операторов задаётся ф-лами

<?іф(*)=*іф(*), *«Ф(*) =—Ф(*)

и, вообще говоря, выводит ф-цпи из Lt. Хорошо определены эти операторы иа множестве D бесконечно дифференцируемых ф-ций, убывающих иа бесконечности быстрее любой степени: действие Qi, Р\ и любых пх целых положит, степеней ие выводит из D. В D легко проверяется самосопряжённость операторов и неприводимость их представления (т. е. что любой комму-тврующпй с и Pi оператор кратеи единичному).

Общая полная система собств. ф-ций операторов Qi (с собств. значениями х°) имеет вид f .

= =6(*!—*”) б(*2—6^X3—/j ,

где Ь(х) — введённая для описания непрерывного спектра 6-функция Дирака. В этом примере легко находится и соответствующая система собств. ф-ций операторов Pi:
Предыдущая << 1 .. 110 111 112 113 114 115 < 116 > 117 118 119 120 121 122 .. 818 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed