Физическая энциклопедия Том 4 - Порохов А.М.
Скачать (прямая ссылка):
Ш), М. BopHoMrifM. Воя») и JI, Йорданом (P. Jordan) й^го описаний физ. вёдичин й абстрактную алгеб-раач. схему g-чисел, в к-рой операции дифференцирования цо динамич. переменным классич. механики заменяются образованием коммутаторов с канонирски j сопряжёнными переменными. Для практйч. вычислений нужно реалвзовать элементы э;гой алгебры операторами в гильбертовом пространстве — пространстве достояний. Прн этом элементам, имеющим физ. смысл,— нвантовым наблюдаемым — должны отвечать самосопря-
1 жёйиые операторы, на с обе їв. векторов к-рых можно Набрать в пространстве состояний полную Систему. Коммутирующие операторы, относящиеся к одновременно ивМернмыМ наблюдаемым а* (см. Heonp«деланностей соотношения)+ обладают общей системой собств. векторов. Совокупность п независимых Коммутирующих опера,трров Ді наз. полным набором, еслн любой опбратор, коммутирующий со всеми Ді, является их фгцие#* .
Пусть — общая полная ристема собств.
Викторов такого набора:
. ... ,аж^іФв», .. .,ов» .
Тогда любоД веитор t|> нз пространства состояний
X мфкет\ бы*ь, разложен По байнсу ав :
" »--»«п)Фв1,. .Г,а„ *
(суммирован не провод «той! по всем собств. значениям }e) = aV’ в,,..;, «*), где On) нав, волно-
вой функцией в (/1і}-представленнш
причём скалярное произведение (.,», ...) в X определено ф-лой ,
. Oflt 1^ («!»•• •»««)•
{“)
Действие А\ сводится в {Л і)-представлении к умножению. на число; * .......
ДіЧ’К. •. •, «гі)=аі^(ві. • • •. a«).
а для любого другого самосопряжённого оператора С выражается через матричные элементы
c{a), {а*}~(Фв**... ,ая* ^Фа* , ... ,о^) в выбранном базис&
Clf(Al,... ,^)^==2 С{«).{«'* 'K V ’ ‘
¦ {«'>
Из существования разл. полных наборов коммутирующих операторов вытекает возможность разл. представлений. Переход от одного представлення к другому сводится к замене базиса в X:
* 2^(*) ’ (aMa)*
{а} {«)
При этом волновая ф-цня в {^!-представлении
W1,...,6m)=(^.9(6})=Sc7‘ ‘ •,в")»
{«}
или
у-+ иц,
связана с ^(at,..., ап) унитарным преобразованием: из свойств ортонормироваииости базисов вытекает
, {в)У {°> ЛЬ'} . {Ь‘ }’
{«}
нли
V ?7+=1.
Матричные элементы операторов преобразуются прн этом по ф-ле
С{*Ь<&'}“ 2 и{Ь),{<‘>сМ,{°’>и{я'>,<Ъ'}’ {«}.{«'}
нлн
C~*UCU~l.
Благодаря унитарности преобразования старая и новая системы матричных элементов н волновых ф-ций физически эквивалентны: спектры операторов, ср. значения и вероятности переходов совпадают.
Унитарные преобразования являются квантовым аналогом классич. канонич. преобразований. Эта аналогия He сводится, однако, к взаимно однозначному соответствию. С одной стороны, согласно принципу неопределенности, точные значения в данном представлении может принимать только половина квантовых наблюдаемых, причём имеется значит, произвол в выборе этой половины. Поэтому число квантовых представлений значительно больше числа наборов классич. канонич. переменных. С др. стороны, не все наборы классич. канонич. переменных имеют квантовый аналог. Простейшим примером служат переменные действие — угол: в отличие от действия, квантовый аналог угла ие существует как самосопряжённый оператор.
Опвсанная выше «идеальная» схема реализуется лишь в простейшем случае операторов с чисто точечнмм спектром. В действительности уже такне естеств. квантовые наблюдаемые, как иоординаты и импульсы, имеют непрерывный спектр и представлены неогранич» операторами. Собств. ф-ции нёограиич. операторов ие принадлежат гильбертову пространству и оказываются обобщёнными функциями. Сами эти операторы хорошо определены не на всём Xt а лишь на его плот-ном подмножестве, на к-ром указанные обобщённые ф-цнн являются линейными функционалами. При этом проблема иваитования ставится как задача конструирования представлений каиоиичеекпх перестановочных соотношений в X.
В простом, но нетривиальном примере бесструктурной частицы независимыми наблюдаемыми служат координаты Qi и нмпульсы Pi (i = 1, 2, 3), подчиняющиеся перестановочным соотношениям Гейзенберга:
Юі.Gjl=HVIQjtPkMMik.
В координатном представлении в качестве полного набора коммутирующих операторов выбираются Qi- Пространством состояний служит пространство Z8(IRa) квадратично интегрируемых комп-лексноэиачиых ф-ций ф(х), х = X1, xt, , со скалярным произведением
(ф1.фі)=$ф1(*)ф* (*)<**•
Действие операторов задаётся ф-лами
<?іф(*)=*іф(*), *«Ф(*) =—Ф(*)
и, вообще говоря, выводит ф-цпи из Lt. Хорошо определены эти операторы иа множестве D бесконечно дифференцируемых ф-ций, убывающих иа бесконечности быстрее любой степени: действие Qi, Р\ и любых пх целых положит, степеней ие выводит из D. В D легко проверяется самосопряжённость операторов и неприводимость их представления (т. е. что любой комму-тврующпй с и Pi оператор кратеи единичному).
Общая полная система собств. ф-ций операторов Qi (с собств. значениями х°) имеет вид f .
= =6(*!—*”) б(*2—6^X3—/j ,
где Ь(х) — введённая для описания непрерывного спектра 6-функция Дирака. В этом примере легко находится и соответствующая система собств. ф-ций операторов Pi: