Физическая энциклопедия Том 4 - Порохов А.М.
Скачать (прямая ссылка):
* вил связных односвязиых групп Ли находятся во вэаим-KOi однозначном соответствии с представлениями их игебр )Ли. Эти представления связаны ф-лой Г(?(а)) = **-exp(ccf(X)). Для унитарных представлений в гильбертовых пространствах из эквивалентности дифференциалов следует эквивалентность П. г.
Ч Поэтому удобен т. и. иифинитеэимальный ir« д х о-д, когда исследование П. г. сводят к исследований представлений их алгебр. Каждому элементу Y
¦ >8 алгебры Ли А группы Ли G ставится в соответствие оператор ad (У) = [У, X], для любого X из А. Т. к. из Тождества Якоби следует, что ad ([У, X]) = [ad(y), №)1, то операторы аД(У) образуют представление ЛЯДОры А. Это представление наз. присоеди-|,Кв и ы м п р едстав лениеи алгебры Ли. ДОШ X1,..,, Xn— базис алгебры A, to матричные эле-' нсдаы операторов ad(X/) ватом базисе совпадают со структурными константами алгебры Ли: (ad(X{))^ =
— Ciki.
Если А — алгебра Ли связной группы G1 то представление алгебры ad можно продолжить до представ-
ления группы Gt действующего в Af как в векторном пространстве. Присоединённым представлением груп пк наз. такое отоЗвазрёвие Ad (g, AYi что exp (Adfc)X) = g exp Xjft любых!
X е A BgzG. ,PaaafepHос1ъ присоединённого Д. г, совпадает с раамё*рност|>ю грушщ Ли. '
В рамках и?фишрезйма л ь ного подхода развод Теория конечномерных представлений полупростыЦ; груHtfi Ли, имеющая важное значение для теории э^екейт^р-иых частиц. Всякое конечномерное ^редб^авленне лупростой алгебры вполне приводимо. Поэтому д^бде-доваиие конечномерных ! представлений полуп^сі^х; алгебр сводится к ассЛедовайн^о неприводимых кЬн?Ч; номерных Представлений. т ^
Для классификации Неправ о ди^ыХ конечномерных представлений комплексных алгебр Ли используют т, и. террию старщйх ве^ов, Пусть зрмнтовы операторы Ну (i = 1,...., г; г — размерность группы Ли G) — базисные элементы подалгебры Картана, ,Рассмотрим комплексноеt конечномерное представление d(A, V) алгебры Ли Л группы#, ТоуДа операторы I(Hi) є‘4(4, V) эрмитовы, они ком&^утирую;с Друг с другом и поэтому имеют общие собств. векторы фт ё Vfi такие, что t(Hi)Hpm = ицфт (г =г-1, г); r-мерный веществ, век-,
тор m =¦ (^...Wir), -соответствующий иавывается
весом 1^mBd(At V). ¦ 7, ,
Обозначим через PT множество чЬех элементов g ^iony-простой группы Ли Gt обладагоіцйх •і'ем свойством, что gKg~x = К, где К — прдгруц^а Картана группы,’#
(К — группа, алгеброй к-рои являемо#? подалгебра Картана). Множество W является йоД^руппой Gt причём К € W и является нормальным делитедем W. Факторгруппа WjK иай; гру нпой отражений Вейля. Эта группа крне’ща.
Два веса m и т* '¦ йа^. Эививален»^П«й и ори связаны друг с другом Группой дтражевтй 'ВЄйлй/'Ч'йсло разл. весов не превышает размерности представления. Говорят, что вес т старше веса т\ если ректор т — т' положителен, т. е. его первая отлйЧВая от нуля компонента положительна. Старший вес из множества эквивалентных весов наз^ Д:о мин а и т н ы м. Вес, к-рый старше всех . осгальвых весов представлен иия, наз. ста ршиїм весом представлен И H я.
Неприводимое конечномерное представление полу-простой алгебры Ли полностью определяется СВОИМ старшим вёсом (теорема К а р т а н а). Для каждой' простой алгебры Ли с г-мерной подалгеброй Картана имеется г доминантных весов Mili (і ==. 1,..., г), называемых фундаментальными, таких, Что остальные доминант-
Г
иые веса можно представить в виде M = =
1*1 Ьі!". і*;
где {^і} — набор неотрицат, целых чисел. Существует г т. и. фундаментальных неприводимых конечномерных представлений !простой алгебры, к-рые имеют г фундаментальных доминантных даесо? в качестве своих старших весов. Соответствующее П- г. наз. фундаментальным.
До сих пор речь шла об. однозначных П. г., когда каждому элементу1 группы g ставился в соответствие только один оператор T(g). Если группа G является, односвязной, то для того, чтобы П. г. было непрерывным, возникает необходимость каждому элементу группы g ставить одновременно В соответствие lAeCK. разл. операторов 7\(?), T^g),..., T^(g). Такое П. г. наа. т-аначным.
JIum.: Виленкин Н. Я.. (ІіЛЦи^Аіньїе фуннцин1 и теория представлений група, MJ1 >1965; ’Ж* яобенко Д. П., Компактные < группы, Ди и; ,проставления, ДОл, 1970; Кириллов А. А., Злеменіилтеорий представлении, 2 изд., М.,
1978; Наймарк М. А., Теорий проставлений трупп, M.,'
1976; Менский М. Б., Метод индуцированных представлений. Пространство -^ъремя и концепции частиц, М., 1976;
К л и к ы к А. У., Матртршыг. ележенті>і и коэффициентыгЯлеб- 4АО та — Гордана представлений групп,' К., 1979; Барут А.,
P о в ч к а Р., Теория Представлений групп и ее приложения, т.>1—2, вер, гС, англ., М., 1980; см. также дит- прист.
цЖЙсТАВЛЁНИЙ ТЕОРДЯв ,!Ів.а нт о^ЛТ
IX a B1 и К е и&учает схемы кцДОЪетЬых реализаций квавтоУых наблюдаемых как саМосрпрйжеииыХ onepa-
. торт, действующих в гильбертовом Пространстве, и j с|рстояНйЙ как векторов этого Пространства.
!‘Тркдйм. построен не аппарата квантовой механики,
і во^ходЩцее к П. А. М. Дираку (Р. А, М. DJrac), сос-; тойт н обобщении введённого В. Гейзенбергом (W. Hei-
