Физическая энциклопедия Том 4 - Порохов А.М.
Скачать (прямая ссылка):
ставления D1 (или D2) равна 1, в общем случае D1 ® Dt вполне приводимо.
Напр., в квантовых системах с группой симметрии G собств. ф-цнн ф гамильтониана можно классифицировать по неприводимым П. г. G. Теория П. г. позволяет в этом случае установить т. н. правила отбора при рассмотрении процессов перехода из одного состояния в другое. Если процесс перехода задаётся оператором Oa, соответствующим неприводимому П. г. Da(G, Ka), то переход из нек-рого состояния ^jjr соответствующего неприводимому П. Г. Dq(G, Fp), может осуществляться лишь в те конечные состояния лрг, представление к-рых Dv содержится в разложении прямого произведения Da ® Dp = О mTDT.
Матричные элементы оператора Cf приводящего прямое произведение D1 ® D2 к блочно диагональному виду [т. е. C(DX ® Dа)C"1 = ® m*Dx, где Dx- не-
приводимое представление, тх — его кратность в прямом произведении), наз. коэффициентами Клебша - Гордаиа. Неприводимое П. г. G, являющейся прямым произведением групп C1 И C2 (CM. Ґрупгіа), есть прямое произведение их неприводимых представлений, т. е.
D (G1 ® G3, F) — D1JG1, F1) ® D2(GS, F2).
Представлення некоторых групп. Коммутативные г р у H п ы. Любое неприводимое унитарное представление локально компактной коммутативной группы одномерно, при этом каждому элементу группы ставится в соответствие комплексное число ехр(іа). Любое представление коммутативной группы ограниченными операторами в гильбертовом пространстве является суммой (дискретной, если группа компактна) одномерных представлений.
Одним из иаиб. завершённых разделов общей теории П. г. является теория йредставлеиий компактных груцп, к к-рым относятся все конечные группы, группы вращений плоскости и пространства, группы SU(N) при различных N, рассматриваемые в теории элементарных частиц (см. Калибровочные поля, Унитарная симметрия) у и т. д. Если группа компактна, то любому её представлению можно сопоставить эквивалентное ему унитарное представление, т. е. изучение представлений компактной группы сводится к изучению её унитарных представлений. Свойства унитарного представления полностью, определяются свойствами его неприводимых компонент. Всякое неприводимое унитарное представление компактной группы конечномерно.
Если D1(G, Жх) и Da(G, Жг) — любые два неприводимых унитарных представлений компактной группы G, то матричные элементы операторов этих представлений Tik(g) и Tlmig) удовлетворяют соотношениям
. G
О, если D1 и D2 ие эквивалентны, если i^D2,
где dx = dimD,; черта означает комплексное сопряжение. Считается, что базисы в пространствах и SKi ортоиормироваиы.
Пусть (Da(G)] — система всех неэквивалентных неприводимых унитарных представлений компактной группы G. Ф-ции d^TiJc(g) (і, к = I,..., da), где da =¦ dimDa, образуют полный ортоиормиров. базис в пространстве L% (теорема Петера — Вей-л я).
Всякое неприводимое унитарное представление ком* цактиой группы эквивалентно под представлению её правого регулярного представления Dr(G),
Представления конечных групп. Каждая конечная группа компактна. Поэтому утверждения, касающиеся представлений компактных групп, справедливы и для конечных групп, только во всех ф-лах необходимо заменить интегрирование по группе суммированием по групповым элементам
Iol
—> I G I -1^, где I GI — порядок конечной группы.
Конечная группа имеет конечное число неприводимых П. г. Сумма квадратов размерностей всех неприводимых неэквивалентных П. г. равна порядку группы (теорема Бёрнсайда), причём все эти размерности являются делителями порядка группы. Число различных неприводимых представлений конечной группы равно числу классов сопряжённых элементов.
Представления групп Ли. Оператор T(g) представления D(G, 7) п-мерной группы Ли, так же как и соответствующий элемент группы Ли, зависит от параметров ...... ап, т. е. T(g(a)) = Т(аг,..., ап) = Т{а).
Для т. и. дифференцируемых П. г: ф-ция Т(а) дифференцируема [так, в частности, будет, если представление D (Gt 7) конечномерно], можно ввести набор операторов f(X*) = дТ(а)/да^ | , і = 1,..., п, наз. г е и е р а-
ч \ «=0
горами представления D(G, К); здесь
— генераторы группы, В первом приближении по
П
в» получим Ji(A) +t Операторы *(Х*)
(t= 1,..., п) образуют базис Ли алгебры, к-рая наз. дифференциалом представления. Дифференциал П. г. в сбою очередь является представлением алгебры Ли соответствующей группы.
‘"Пусть g(a) — элемент однопараметрич. подгруппы
Гы G. Свя8ь между П. г. D(Gi V) и его дифференциа-[Представлением соответствующей алгебры Ли dM; F)J даётся ф-лой t(X) = dT(g(a))da | . Если
& — связная грушха Лн, то её конечномерные представ* дения полностью определяются своими дифференциа-SSiiBi. Напр., если ?>(?, V) — конечномерное П. г. Gt id(A,, V) — представление алгебры Ли А этой группы, являющееся дифференциалом D, то всякое подпраетран-пм пространства V, инвариантное относительно Dt ’ инвариантно также относительно d. П. г. D и d неприводимы, приводимы н вполне приводимы одновременно. Веля DAG, P1) и Dt(G, Ks) — представления связной Ірушш Ли G, a dx(A , K1) и dt(A, K1) — их диффереициа-* ля, то иа эквивалентности d, ~ da следует зививалент-ность D1 ~ Da и наоборот. Конечномерные представле-
