Физическая энциклопедия Том 4 - Порохов А.М.
Скачать (прямая ссылка):
Если в качестве базиса в пространстве V вполне приводимого конечномерного П. г. взять совокупность базисных векторов пространств под представлений, то матрицы, соответствующие операторам этого П. г., имеют квазидиагональный вид
Tx{g) О ... О
О Ta[g)... О
?
і
Tk(I)
Если П. г. P{G, V)' не содержит нетривиальных под-представлений, то оио иаз. неприводимым. Различают алгебраич. неприводимость, т. е. отсутствие инвариантных подпространств, и’топологич. неприводимость, при к-рой пространство П. г. не должио хедер-жать замкнутых инвариантных подпространств. Алгебраически неприводимое П. г. является тонодогичесии неприводимым; обратное, вообще говоря, неверно. Полноту системы неприводимых П. г. устанавливают прн помощи характеров Д. г. xffl. Для матричного П. г. XW — ТгTffl. ‘ ,
Пусть иа пространствах V1 и V1 задана невырожденная билинейная форма / и пусть V1 — пространство П. г. D[G, V1). Всякому оператору Tffl этого П. тл можно сопоставить дуальный оператор X ffl, действующий на пространстве V1 так, что /(Т*(S)V1, vt) — = I(VliTfflvt). Если вместо оператора T*(g) рассмотреть onepaTqp T^ffl = Т*(^),лю множество операторов ) образует П. г., называемое сопряжённым к D(G, V1) относительно формы /. Поскольку / иевырождеиа, размерности П. г. D(G, V2) и ?)<*) (GjV1)-совпадают. Для конечномерных Пгт; матрицы операторов T^ffl имеют .вид MfSffl ~ iff*1)' •' Г (Г*)?', где f—‘ матрица формы /, а штрих означает транспонирование. Если рассмотреть П.‘ l^1. B(G? Stj И гильбертовом'npocrri ранстве X и ваять B1KakIecTfie фЬрмы / скалярное йроиз-
Kfi
ведение/ то миожеотво операторов T<*>(g)~ (T+U))-1 (« + * — эрмитово ‘ 'оопряжение) образуют П. г. D*(G, ЭК), к-роеиав. сопряжённым k .D(G,X). Пусть теперь шее операторы П. г. D(G, Ж) унитарны. Тогда D*{G, Mt) будет совпадать с D(G^ Ж), и сиаляриое произведение инвариантно относительно D, т. е. для любых A1,; А, нз Ж и любого T(g)\ (T7(^)A1, T(g)h2) = =PQbih2)., Такое її і г. Наз,. унитарным. Всякое П. г., сохраняющее невырожденную билинейную форму, вполне приводимо, в частности вполне приводимо всякое конечномерное унитарное П. г.
И. г. D(G, F)*aa. ц и к лическим, если существует вектор у Є F Jh«8. циклическим вектором для D(G, F)111 такой, что зайыканне линейной оболочки всех T(g)v сойпадЬе* о V. Каждое унитарное П. г. яИляетоя-примой суммой циклич. под представлений. Унитарное П. г. D(G, Ж) неприводимо тогда и только тогда,- когда каждый ненулевой вектор h ? Ж цикли-чек для ZJ(GtJP).
В приложениях приходится оперировать такими П. г., 'длй и-рых Процесс выделения инвариантных подпространств бесконечен. В этом случае исцользуют обобщение Понятия йрямой cyiкны Й. г.— прямой интеграл ІОреДставлїенЙй.
Пусть dy.(?)\ — право(лрво)инвариантная мера Халда На локально компактной группе G (см. Инвариантное интегрирование). Рассмотрим пространство L2 числовых (вещественных иди коїлшіеисннх) ф-ЦИЙ f(g), HH-: тегрвруеыых р квадратом по этой мере. Обозначим TR\g), (TL(s)) операторы преобразования в і2„порогаден-, иыр правым, (левый) сдвигом на элемент: TR(g)f(g') — =JiftK rHg)f(g) -J(rV)v Группа отратороа
* Of). ?,(#) образует линейное, П. г. Ga пространстве Z,2^ jc-pO? цравым(дышм) ..р егу л я р н.ы м П. г* Снабдив пространство Vх скалярным произведением (/a, /j) Il\(g)h(g)d\x{g)і где черта означает комплекс-
ное сопряжение, можно.показать^ что регулярные представления унитарны.
¦ Прн нахождении неприводимых пре^йтав ле&ий некомпактных ' (локально номттактных) групп весьма эффективной оказывается теория1 и^д y4tt и р о й afc и й Xі П. г. Индуцированное П. г.. D{K^ V)]G локально компактной группы G специальным: образом конструируется из представления D (К, F) замкнутой1 подгруппы К е G. Пусть ф — ф-цйя,' отображающая G в F и удовлетворяющая условию: <р(&?) = T(A)ф(?) для любых ?€ G, к ? К, ! Т{к) и- оъёратор П. г. D(#, м- Тогда иидуциров. ЯреДставЛёние U{G,^f) = D (К, >JF) fб определяется ' в нространегвв>'Ж- всех T1Ctknx ф-ций фнлой (U(^Цр) (g*) = ф(^'^) Г-f 'МётоД ївдуциров. представлений является простейшим приёмом построенйя представлений более сложных групп Из представлений более простых трупп.
В квантовой механике Используют т. и. п рое к-т и в и ы е П. г., когда каждому элементу g ставится в соответствие оператбр T1(^)1 действующий в пространстве F, причём для любых и gt из G: Tigl) T (g2) = = toGfb ft) т(8і8і)X гДе фазовый'множитель co(g,, g2) — числовая ф-ция, зависящая от и у4, а Т(е) — по-прежнему единичный оператор в F. На проективные П. г. непосредственно'HepeHOCHi1Cfl понятии эквивалентности и неприводимости ІІ. г.
Пусть! DlJfe1 F1) и D*(#, V2) — два конечномерных П. г. G, имеющие размерности и п2. П. г* D наз. прямым (тензорным) произведением П. г. D1 и Dti D — Rt ® Di, оно имеет разность Ti1Ji2, а каждый его элемент представляет ,собей матрицу Jt1IVt являющуюся прямим (и ронене ров ым)
произведением матрицы из D1IG1 F1), на. матрицу из D%(G, У*) (сц. М^щрица). Прямое произведение D1 ® D9 да ух неп рив од имыхкяиечноме р^ых: представлений D1 и D9 группы,. 6 неприводимо, если , размерность пред-
