Физическая энциклопедия Том 4 - Порохов А.М.
Скачать (прямая ссылка):
С П. м. может быть связана повышенная хим. активность из-за образования при предиссоциации атомов и радикалов, обладающих высокой реакционной способностью. Поэтому П. м. играет важную роль в фотохимии.
Лит. CM. при ст. Молекулярные спектры. М. А. Ельяшееи%
ПРЕДСТАВ ЛЁНИЕ ГРУППЫ — изображение эде-
ме втов группы матрицами или преобразованиями линейного пространства, прн к-ром сохраняется исходная групповая структура. Поскольку достаточно хорошо нвучеяы матричные группы, при исследовании произвольной группы стараются установить соответствие меж-йуче» елементами и матрицами нек-рого фиксиров. порядка, т. е. изучать группу с помощью её линейной модели. Рассмотрение П. г. позволяет обнаружить важные свойства самих групп.
В физике естеств. образом военикают П. г. симметрии. Рассмотрим, иапр., преобразования трёхмерного пространства в результате вращений системы координат. Закон преобразования векторов х х' даёт, ра-аукеется, трёхмерное П. г. вращений. Инвариантность додояров относительно вращений позволяет ввести Одномерное П. г. вращений, иогда кеждый элемент группы отображается иа тождеств, преобразование. Можно записать закон преобразования компонент тещзора ранга 2. Если рассматривать 9 величин Tij иак координаты точки 9-мерного пространства, получим
9-мериое П. г. вращений. Пусть Ту — Tflt это свойство Инвариантно относительно вращений; поскольку SjpiH этом остаётся лишь 6 компонент Jy, получается
6-мерное П. г. вращений, и т. д. Аналогично ложно построить П. г. Лоренца. Законы преобразования спиноров дают т. и. двузначные П. г. вращейий н группы Лоренца. Симметрия нлн антисимметрия, многочастич-йои волновой ф-ция при переставовне тождеств, частиц да8т П. г. перестановок. Одна из целей теории П. г.— ЯаЙти разл. законы преобразования физ. величин, т. е. Цйти всевозможные П. г. симметрии.
її. г. тесно связаны с разл. специальными функциями ItateM. физики, в к-рых явно проявляются соотношения С&мметрии. Эта связь позволяет с единой точки зрения ійяіледовать свойства спец. ф-ций и обнаружить новые классы ф-ций.
Развитие теории П. г. началось в нон. 19 — нач. SiO1BB. в работах Г. Фробеииуса (G. Frobenius) и И. Шура (I. Schur). Затем Г. Вейль (Н. Weyl), Дж. Нейман (J. Nemnann) и Ю. Вигнер (Б. Wigner) продемонстри-рйМли важность этой теории для физики.
Оеноввыс определения. П. г. G в пространстве V наз. отображение D [Gt V) этой группы в набор преобразований V. Каждому элементу g Є G ставится в соответствие оператор T(g), действующий в пространстве Vt ирілвм T(Zygi) = T(^1) T1(^e) для любых gt и г, из С?; Т(е) = /, где е — единичный элемент группы G4 й I — бдивнчный оператор в V. П. г. наз. линейным, если V — линейное пространство, a T(g) — линейный оператор. В дальнейшем речь будет идти только
о линейных П. г. Если G — топологич. группа, то обычно требуют, чтобы T[g) непрерывно зависел от g, такие П. г. наз. непрерывными.
Размерность пространства V обычно иаз. размерностью представления, dim D(G, К), П. г. иаз. вещественным (комплексным), если пространство П. г. V — вещественное (комплексное). Если DIG, V) конечномерно, то, выбрав в V базис е,, е2,..., еп, можно задать операторы T(g) матрицами n-го порядка Ц7^-(^)11, где элементы матрицы определяются соотно-ft
шедием T[g)ek = JjTjk[g)ej. Матрица || T^fflW наз.
матрицей представления D[G, V), а ф-ции Tjj[g) — матричными элементами нредставлеиия.
Простейшее П. г. получается, если положить F(g) г 7. оио иаз. единичным или тривиальным. Если группа G состоит не матриц фиксиров. лорядка, їв одно из П. г. получается при T(g) — g. Т. о., определение всякой линейной группы является одновременно заданием её представления в виде группы линейных операторов, т. е. группы матриц, такие П. г. иаз. рпределиющини. П. г. D(G, V) наз. точ-
ным, если Tffl = I, тогда и столько тогда, иогда g = е. В этом случае отображение g Tffl взаимно однозначно (явяяется изоморфизмом). 1 7
Если H — подгруппа группы 0\ то, - рассматривая операторы T ffl только при g = ft Є Я, получим ирёд-ставление D (Я, V), называемое сужен Hiei м П. Г; иа подгруппу Я. Подпространство V1 с: V иаз. инвариантным относительно П. г. D[Gt У), еслн оно. инва-
Ёиантно относительно всех операторов Tfg'P этого [. г., т. е. для любых g 6 <7 H V 6 Ki, Tfflo е K1 [oneреи торы Tffl ие выводят ив FJ. - «
Два П. г. D\[G, Vj) и IJ1(GjV2) наз. эквивалентными, t>i{G, V1) ~ У2), если существует
линейный оператор А, взаимно однозначно отображающий V1 иа Vt а удовлетворяющий условию A T^g) — = Tt[g)A для всех g Є G. Если i>L(G, V1) конечномерно и Dt[G, V1) ~ Dt(G, V1), то dimb^Cr, V1) = dimD,(6, Vs) и при соответствующем выборе базиса в V1 и V1 матричные элементы представлений DJlG, V1) и Dt(G, V2) совпадают.
Пусть V1 с: V — инвариактное подпространство относительно П. г. D (G, V), Тогда получаем П. г. D1(G1V1), к-рое наз. поддредстав лен нем П. f. D[G, V). П. г. наз. приводим ы.Ц, еслн оно содержит нетривиальные (т. е. отличные от тривиального, и самого себя) подпредставления. П. г. D(G, V) иаз. разложимым, ебЛк содержит Подпредставления D1IG, V1) и Dt(G, V1), такне, что V изоморфно прямой сумме свои! подпространств, V-V1 ф V1, В этом случае говорят, что П. г. эквивалентно п р Я’м о й суымепре Оставлений Di и D1: D ~ ?>,ф D^. Если в П. г. D для всякого йодпредставления D1 существует подпреДстввлеиие ZT1, такое, что D ~ D1Q Dt, то П. г. наз. 'ъ н о л н е приводимым. В тако^ П. г. всякое инвариантное относительно действия операторов подпространство имеет инвариантное дополнение. Приводимое П. г. не обязательно должно быть разложимым.
