Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
Лагранжа, - к интегрированию системы шестидесяти обыкновенных
дифференциальных уравнений первого порядка, связывающих время и
эллиптические элементы. При помощи этих интегрирований тридцать
переменных координат или шестьдесят переменных элементов могут быть
найдены, как функции времени. В методе, предложенном в данной работе,
задача сводится к отысканию и дифференцированию единственной функции,
которая удовлетворяет двум уравнениям в частных производных первого
порядка и второй степени; подобным же образом всякая другая динамическая
задача, относящаяся к движениям (как бы многочисленны они не были) любой
системы притягивающихся или отталкивающихся точек (даже если мы
предполагаем, что эти точки ограничены какими-либо условиями связи,
совместными с законом живой силы), сводится к изучению одной центральной
функции, форма которой определяет и характеризует свойства движущейся
системы и определяется двумя дифференциальными уравнениями в частных
производных первого порядка в сочетании с некоторыми простыми
соображениями. Таким образом, по крайней мере интегрирование многих
уравнений одного класса заменяется интегрированием двух уравнений другого
класса, и даже если считать, что этим не достигается никакого
практического облегчения, тем не менее можно получить некое
интеллектуальное наслаждение от сведения, пожалуй, самого сложного из
всех исследований,
ОБ ОБЩЕМ МЕТОДЕ В ДИНАМИКЕ
177
относящихся к силам и движениям тела, к изучению одной характеристической
функции*), к раскрытию одного центрального отношения.
Данная работа не претендует на то, чтобы полностью исчерпать этот
обширный предмет, так как это представляет собой задачу, которая может
потребовать многих лет трудов многих ученых, но имеет своей задачей
только развить самую мысль и наметить путь для других. Поэтому, хотя этот
метод может быть использован в самых разнообразных динамических
исследованиях, в настоящей работе он применяется только к орбитам и
возмущениям системы с любыми законами притяжения или отталкивания и с
одной преобладающей массой или центром преобладающей энергии и притом в
данном исследовании лишь настолько, насколько это представляется нужным,
чтобы сделать понятным самый принцип. Следует отметить, что этот
динамический принцип представляет собой лишь другую форму той же идеи,
которая уже была применена в оптике в "Теории систем лучей", и что
намерение приложить ее к движениям системы тел было выражено при
опубликовании этой теории**). При этом не только сама идея, но также и
способ вычисления, примененный к наукам оптики и динамики, по-видимому,
не ограничивается этими двумя науками, но может найти и другие применения
; при этом характерное для него специфическое сочетание принципов
вариаций с принципом частных производных для определения и использования
важного класса интегралов может при дальнейшем развитии этого метода
будущими трудами математиков вырасти в отдельную отрасль анализа [65].
Уильям Р. Гамильтон
Обсерватория, Дублин, март 1834 г.
Интегрирование уравнений движения системы; характеристическая функция
такого движения и закон переменного действия
1. Известные дифференциальные уравнения движения системы свободных
точек, отталкивающих или притягивающих друг друга согласно любым функциям
их расстояний и не возмущенных какой-либо внешней силой, могут быть
представлены следующей формулой :
2'т (х" дх + у" ду + z" dz) = ди. (1)
В этой формуле знак суммирования У распространяется на все точки системы
: т - для любой такой точки это константа, называемая ее массой ; х", у",
г" - компоненты ускорения или вторые производные прямоугольных координат
х, у, г, взятые по времени; бх, бу, dz - любые произвольные бесконечно
малые смещения, которые может получить точка в тех же трех взаимно-
перпендикулярных направлениях; 8U представляет собой бесконечно малую,
соответствующую этим смещениям вариацию функции U масс
*) Лагранж, а после него Лаплас и другие применяли единственную функцию
для выражения различных сил системы, получая таким образом изящным
способом дифференциальные уравнения ее движения. Эта концепция придает
огромную простоту постановке задачи динамики, но решение этой задачи или
выражение самих движений и их интегралов зависит от весьма отличной и
бывшей до сих пор неизвестной функции, показать которую представляет
собой задачу настоящей работы.
**) Transactions of the Royal Irish Academy, т. XV, стр. 80. [Заметка об
этом динамическом принципе была позже дана в статье <<On a general Method
of expressing the Paths of Light and of the Planets", напечатанной в
Dublin Lniversity Review в октябре 1833 г. - Прим. ред.]
178
У. ГАМИЛЬТОН
и взаимных расстояний отдельных точек системы, форма которой зависит от
законов их взаимодействия согласно уравнению:
U = 2 тт1 • / (г), (2)
причем г представляет собой расстояние между любыми двумя точками т, mv а
функция /(г) такова, что ее производная или дифференциал /(г) выражает
