Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 80

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 74 75 76 77 78 79 < 80 > 81 82 83 84 85 86 .. 461 >> Следующая

равны нулю также и в тех точках, где интегрирование J и ds кончается, то
мы получим просто
dSm§uds = О,
т. е. вариация величины Sm § и ds будет равна нулю ; таким образом, эта
последняя величина будет максимумом или минимумом.
Итак, отсюда вытекает следующая общая теорема.
При движении любой системы тел, находящихся под действием взаимных сил
притяжения, или сил, направленных к неподвижным центрам и
пропорциональных каким-либо функциям расстояний, кривые, описываемые
различными телами, а равно их скорости, необходимо таковы, что сумма
произведений отдельных масс на интеграл скорости, умноженной на элемент
кривой, является максимумом или минимумом - при условии, что первые и
последние точки каждой кривой рассматриваются как заданные, так что
вариации координат, соответствующих этим точкам, равны нулю.
Такова теорема, которую под названием принципа наименьшего действия мы
упомянули в конце первого отдела*).
40. Однако приведенная теорема не только содержит в себе интересное
свойство движения тел, но может также послужить для определения этого
движения. В самом деле, так как выражение Sm J uds должно быть максимумом
или минимумом, остается только, пользуясь методом вариаций, выяснить
условия, при которых она может принять указанные выше значения ; если
применить общее уравнение сохранения живых сил, то мы всегда найдем все
уравнения, необходимые для определения движения каждого тела.
Действительно, для существования максимума или минимума необходимо, чтобы
вариация была равна нулю; следовательно, мы имеем
д Sm§ uds = 0;
отсюда, проделав приведенные выше операции в обратном порядке, мы найдем
ту общую формулу, из которой мы исходим.
Для того чтобы сделать этот метод более ясным, мы изложим его здесь в
нескольких словах. Условие максимума или минимума вообще дает
ё Sm §uds = 0.
Если знак дифференциала б ввести под знаки S и j (что согласно природе
этих различных знаков, очевидно, допустимо), то мы получим уравнение
S т j б (и ds) = 0,
*) Интеграл S m J uds оказывается максимумом или минимумом, если его
сравнить с аналогичными интегралами, относящимися ко всякому другому
движению системы, которое было бы вызвано теми же силами и при котором,
несмотря на введение новых связей, допускающих существование принципа
живых сил, начальные и конечные положения оставались бы одними и теми же.
Возможно, что это заключение, которое с очевидностью следует из
доказательства, в тексте выражено недостаточно ясно. (Прим. Берт-ранаЛ
[88]
По поводу этого принципа можно посмотреть статью О. Родригеса,
напечатанную в Correspondance de ГЁсо1е Polytechnique, т. III, стр. 159 и
книгу Якоби Vorlesungen flber Dynamik. (Прим. Дарбу.) [*•]
[Есть русский перевод: Якоби, Лекции по динамике, ОНТИ, М.-Л., 1936. См.
также стр. 294 настоящей книги. - Прим. ред.]
ДВА ОТРЫВКА ИЗ ПЕРВОГО ТОМА "АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ.
или, дифференцируя в смысле символа S,
Sт § (dsdu + и dds) = 0.
Я рассматриваю сначала первую часть этого выражения :
Sm J dsdu.
Если вместо ds подставить его значение и dt, то зта часть примет вид :
S m\ududt
или, если изменить порядок знаков S и J, которые совершенно независимы
друг от друга, то она примет следующий вид:
J dtSmu ди.
Но общее уравнение принципа живых сил дает (п. 34)
Sти2 - 2Н - 2 S тП,
где dn равно
Pdp + Qdq + Rdr + ...;
поэтому, если приведенное выражение продифференцировать в смысле символа
6, то получим
S тиди = - S тдП - - S т (Рдр + Qdq + Rdr + ...)•
Так как согласно допущению П является алгебраической функцией р, q,
г,..., то дифференциал 5П представляет собою то же самое, что и dn, с
заменой только символа d символом д. Таким образом, величина
Sm^dsdu будет приведена к следующему виду:
- Jdf Sm {Рдр + Qdq + Rdr + ...).
Затем я рассматриваю вторую часть
S т J ид ds
и подставляю в нее вместо элемента ds его величину, выраженную с помощью
прямоугольных координат или с помощью каких-либо других переменных. Если
мы пользуемся прямоугольными координатами х, у, z, то
ds = ]/dx2 + dy2 + dz2 ;
следовательно, дифференцируя в смысле символа 6, мы получим
<5 ds = ~ д dx + д dy + д dz
ds ' ds / ' ds
или, переставив знаки d и 6 и написав dd вместо 6d, что всегда допустимо
И*
164
Ж. ЛАГРАНЖ
ввиду независимости этих символов,
таким образом, подставив это значение и написав dt вместо -, мы получим
Так как здесь под знаком интеграла J находятся дифференциалы вариаций дх,
ду, dz, то следует их устранить, пользуясь известной операцией
интегрирования по частям согласно правилам вариационного исчисления.
Таким
если предположить, что обе крайние точки кривой заданы, так что
координаты, соответствующие пределам интеграла, не изменяются, то мы
будем иметь просто
Таким образом, мы получим следующее преобразованное выражение:
Таким образом, мы получим следующее уравнение максимума или минимума :
\dtSm(Pdp + Qdq + Rdr + ... + ^rdx+^rdy + -g-"5z) = 0,
которое, вообще говоря, должно иметь силу для всех возможных вариаций ;
Предыдущая << 1 .. 74 75 76 77 78 79 < 80 > 81 82 83 84 85 86 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed