Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 79

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 82 83 84 85 .. 461 >> Следующая

в таком виде принцип ставить в один ряд с теми принципами, которые были
указаны выше. Существует, однако, и другой способ его применения, более
общий и более точный, который один только и заслуживает внимания
математиков. Первую идею этого принципа дал Эйлер в конце своего
сочинения "De isoperimetricis", напечатанного в Лозанне в 1744 г.; он
показал, что при траекториях, описанных под действием центральных сил,
интеграл скорости, умноженный на элемент кривой, всегда является
максимумом или минимумом.
Указанное свойство, найденное Эйлером при движении изолированных тел,
которое представлялось присущим только этим телам, я, пользуясь принципом
сохранения живых сил, распространил на движения любой системы тел,
действующих друг на друга каким угодно образом; отсюда вытекает новый
общий принцип, согласно которому сумма произведений .масс на интегралы
скоростей, умноженных на элементы пройденных путей, является всегда
максимумом или минимумом.
Таков тот принцип, которому, хотя и не вполне точно, я даю здесь название
принципа наименьшего действия и на который я смотрю не как на
метафизический принцип, а как на простой и общий вывод из законов
механики. Во втором томе Memoires de Turin*) можно увидеть применение,
которое я дал ему для разрешения многих трудных проблем механики. Этот
принцип, будучи соединен с принципом живых сил и развит по правилам
вариационного исчисления, дает тотчас же все уравнения, необходимые для
*) Oeuvres de Lagrange, т. 1, стр. 365.
160
Ж. ЛАГРАНЖ
разрешения каждой проблемы; отсюда возникает столь же простой, сколь и
общий, метод разрешения проблем, касающихся движения тел. Однако этот
метод представляет собою не что иное, как следствие метода, составляющего
предмет второй части настоящей работы и обладающего в то же время тем
преимуществом, что он выводится из первых принципов механики.
§ VI. Свойства, касающиеся наименьшего действия
39. Рассмотрим теперь четвертый принцип, а именно, принцип наименьшего
действия.
Если мы обозначим через и скорость любого тела т системы, то будем иметь
dx2 dy2 . dz2
u ~ OF + ~dF + 4F ' и уравнение живых сил (п. 34) [35] примет следующий
вид:
5т(^- + я) = Я;
если последнее выражение продифференцировать в смысле символа б, то оно
даст
Ьт(иёи + дП) = 0.
Но так как П является функцией р, q, г,..., то мы имеем 6II = Pdp + Qdq +
R&r+ ...
Таким образом,
Sm (Р др + Q dq + R Ьг + ...)= - Smu ди .
Это уравнение всегда будет иметь место, если
Р dp -у Qdq + Rdr + ...
представляет собою интегрируемую величину и если связь между телами не
зависит от времени ; оно перестает быть верным, когда одно из приведенных
условий не выполнено.
Если указанное выше выражение теперь подставить в общую формулу динамики
(п. 5, отд. II) [36], то последняя примет следующий вид :
S т [~- дх + ду + ^ дг - и ди ) = 0 .
Но
йРх дх + d2y ду + d2z dz =
= d (dx дх + dydy + dz dz) - dxddx - dy ddy - dz d dz.
Так как символы d и <5 выражают совершенно независимые друг от друга
дифференциал и вариацию, то величины d дх, d ду, d dz должны представлять
собою то же самое, что и д dx, д dy, д dz. Кроме того, ясно, что
dxдdx + dy д dy + dzдdz = ^ д(dx2 + dy2 + dz2).
Таким образом, мы имеем d2x дх + d2y ду + d2z dz =
= d (dx дх -у dydy -у dz dz) - ^ d (dx2 + dy2 + dz2).
ДВА ОТРЫВКА ИЗ ПЕРВОГО ТОМА "АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ"
161
Пусть s представляет собою пространство или дугу, описанную телом т за
время t; тогда мы имеем
ds и
ds = Ydx2 + dy2 -f dz2 , dt =
Следовательно,
d2x бх + d2y by + d2z bz - d (dx бх + dyby + dz dz) - ds bds,
и отсюда
ifix " <Py " cPz * ^ _ d(dxSxdySy + dzdz _ ft2 S ds
0X I М2 °У ~V rit2 Z
dt2 r dt2 7 1 dt2 dt2 ds
В силу этого рассматриваемая общая формула примет следующий вид:
Sm -U^A-U6U] = 0,
ds
или, если все члены помножить на постоянный элемент [37] dt = - и принять
во внимание, что и 6 ds -f ds ди - b(u ds),
Sm ^(dxsx + dysy± dz^ _ d {u rfs)j = 0
Так как знак интеграла J не связан со знаками дифференциалов d и б, то
последние можно поставить впереди интеграла, в результате чего уравнение
примет следующий вид:
d Sm бх + by -f 6zj - д Smu ds = 0.
Проинтегрируем это уравнение по отношению к знаку дифференциала d и
обозначим это интегрирование с помощью обычного знака интеграла J ; тогда
мы получим
Sт bx + ^-ду +-^г 6zj - J б Smu ds = const.
Но знак j в выражении
j б Smuds
может относиться только к переменным и и s и не находится ни в какой
связи со знаками S и б ; поэтому ясно, что указанное выражение
тождественно со следующим :
б Sm j uds;
если мы предположим, что в тех точках, где начинается интегрирование j
uds,
bx = 0, by = 0, Sz = О,
то произвольная постоянная должна равняться нулю, так как в этих точках
левая часть уравнения должна обратиться в нуль. Таким образом, в этих
случаях мы имеем
bSmf uds = Sm (~дх + -^-by+ ~bz).
11 Кяпияпипнные ппиштипы механики
162
Ж. ЛАГРАНЖ
Следовательно, если, сверх того, мы предположим, что вариации бх, бу, 6z
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 82 83 84 85 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed