Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
dx ' dy ' dz U>
тогда получим (см. предыдущий параграф) уравнение
dD dD . о dD , dD . r.rj A
-,Г + a ---\- p ---------\- у -j- + DU = 0.
dt 1 dx ' r dy ' ' dz 1
" dD dD dD
Отсюда, исключив величины с помощью предыдущих урав-
нений, разделив на D и переместив члены, получим
dD
dt _ d lg D IT ~ dt
или, для краткости
aL + pM + yN-U,
dt
Итак, приведенные выше формулы сведутся к следующим выражениям:
l = ;
dx ' dy ' dz '
стало быть, сравнивая эти уравнения с только что найденным, мы получим
уравнения
dL_ dT^ dM__ _dT_ dN _ dT
dt dx ' dt dy ' dt dz '
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА, ИЗЛОЖЕННОГО В ПРЕДЫДУЩЕМ МЕМУАРЕ
157
в которых буквы D больше нет. Мы найдем еще, комбинируя предыдущие
уравнения,
dL_ _ dM_ dL^ _ dN_
dy dx ' dz dx '
два уравнения таких же, как уравнения (к) в п. XLII. Итак, мы
получили
пять уравнений, все освобожденные от буквы D, из которых для
решения
задачи будет достаточно трех, выбранных произвольно.
Если предположить, что движение жидкости дошло до какого-нибудь
постоянного состояния, то = 0, и, следовательно, Т = 0.
LI. С л е д с т в и е III. Можно также еще представить движение жидкости
с помощью переменных X, Y, Z, t, как в п. XLIV. Для этого найдем сначала
значение D по способу уравнения (s), которое после введения букв а, /?, у
примет вид :
dD
dt , _dc^ . ар_ , dy __ А
I rfv I rln 1
D ' dx ' dy dz
По формуле указанного параграфа находим
dK
d" djS . dу dt
dx ' dy dz К
dD dK
-Ё- + -dl- = 0
P ' К '
lg D + Ig К = const,
DK = h и D'=~.
следовательно,
откуда находим т. е.
Чтобы определить константу К, заметим, что в начале движения dx = dX, dy
- dY, dz = dZ;
следовательно,
L = 1 , M = 0, N== 0, P = 0, Q= 1 , R = 0, S = 0, Г = 0, U= I ,
что дает К = 1, откуда следует, что h должно быть равно плотности D,
которую жидкость имеет в первый момент движения.
Найдя выражение D, остается только заменить его в уравнениях (р), а так
как D является функцией X, Y, Z, t, то его дифференциал, если положить t
постоянной, будет выражен так:
Е dX + F dY + G dZ. т, о dP dP dP r
Итак, для получения значении-^-, надо будет еще подставить вместо
dX, dY, dZ их выражения через dx, dy, dz, найденные в п. XLIV, что,
положив Е (QU - RT) + F(RS- PU) + G(PT - QS) = А ,
Е (NT - MU) + F(LU -NS) + G (MS - LT) = В,
E (MR - NQ) + F (NP - LR) + G (LQ - МР) = С ,
158
Ж. ЛАГРАНЖ
даст
.г, _ ^dx+JSdy + Cdj К '
откуда
dD_ _ _ В dD _ с
d х ^ К ' dy ~~ К ' dz К '
и, следовательно, согласно гипотезе п. XLIX,
df = ЕА dF_ = ЕВ dF_ _ ЕС
dx К ' dy К ' dz ~ К '
Подставим эти значения в уравнение (р) и получим, разделив на D, которое
равно
+ + = О,
d^ + Qdt + ~dt = О, d~ + Wdt + -^=-dt = 0.
at о
Если предположить в этих уравнениях
/7=0, Я = О, У = 0, -f- = 2g,
то они оказываются такими же, какие г. Эйлер нашел другим путем (Recher-
ches sur la propagation des ebranlements dans un milieu elastique,
Miscellanea Taurinensia, т. II, стр. 6).
LII. Примечание. В отношении уравнения (q), которое осталось еще
рассмотреть, мы докажем рассуждением, подобным рассуждению-в п. XLVI, что
если жидкость опирается на три неподвижные стенки, то три члена
S2 dy dz 'F d'x + S2 dx dz 'F d'y + S2 dx dy 'F d'z
всегда равны нулю так же, как и три других:
S2 dy dz F' dx' + S2 dx dz F' dy' + S2 dx dy F' dz'.
Но если предположить жидкость свободной со всех сторон или только с
какой-нибудь одной стороны, тогда величина F должна стать равной нулю-на
внешней поверхности жидкости в тех местах, где она свободна; мы будем
иметь для этой поверхности уравнение dF = 0, т. е.
^dx + ^dy + -^dz = 0,
dF dF dF .
или, подставляя вместо-.- , -г-, -з- их значения, взятые из уравнении
(р)г
получим х у Z
(d + П dt) dx + (d ^ + Q dt) dy + (d -f- + W dt) dz = 0,
точно так, как это было найдено в цитированном параграфе для неупругих,
жидкостей.
Ж. ЛАГРАНЖ
ДВА 0ТРЫВКА ИЗ ПЕРВОГО ТОМА "АНАЛИТИЧЕСКОЙ
МЕХАНИКИ" р4]
17. Перехожу, наконец, к четвертому принципу, который я называю-принципом
наименьшего действия - по аналогии с тем, который был дан под этим же
названием Мопертюи и который затем приобрел известность благодаря работам
многих знаменитых авторов. Этот принцип, с аналитической точки зрения,
заключается в том, что при движении тел, действующих друг на друга, сумма
произведений масс на скорости и на пройденные пути является минимумом.
Мопертюи выводит отсюда законы отражения и преломления света, равно как и
законы удара тел; эти выводы помещены в двух мемуарах, из которых первый
был опубликован в Memoires de l'Aca-dёmie des Sciences de Paris, 1744 г.,
а второй спустя два года в Memoires de I'Academie des Sciences de Berlin.
Однако указанные применения носят слишком специальный характер, чтобы на
них можно было построить доказательство общего принципа ; кроме того, они
несколько неопределенны и произвольны, что придает некоторую ненадежность
и выводам, которые можно было бы сделать на их основании о точности
самого принципа. Поэтому мне кажется, что было бы неправильно изложенный
