Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
захотим рассмотреть самые переменные х, у, г, то заметим, что эти
переменные могут быть только функциями времени t и значений, которые они
имели в начале движения, когда t = 0, значений, которые должны быть
полностью произвольными, чтобы решение задачи было по возможности общим.
Обозначим эти значения через X, У, Z, т. е. предположим, что переменные
х, у, z, которые представляют положение каждой частицы жидкости после
некоторого времени t-, были в начале движения равны X, Y, Z; разности х,
у, z выразятся, в общем, следующим образом :
разн. х = L dX + М dY + N dZ + " dt, разн. у = Р dX + Q dY -f R dZ + p
dt, разн. z = S dX -f T dY -f U dZ -f у dt,
так, что
dx = adt, dy = fidt, dz = y dt,
d x = LdX + MdY + NdZ, dy = PdX+ Q dY + RdZ, d z = SdX+ TdY + UdZ,
10 Вариационные принципы механики
146
Ж. ЛАГРАНЖ
Подставив в уравнения (g) и (Ь) а,р,у вместо и предположив;
к тому же для упрощения расчетов, что D постоянно и
d {РП) _ d(Pfl) d (РП) _ <j(PV)
dy - dx ' dz dx '
найдем после деления двух уравнений (g) на D dt и уравнения (Ь) на dt
. da , dp .da dy
d d -j,- d -- d -' -
dt dt dt dt /.y
" dy~ ~~ dx ' dz -' dx ' ' '
d " + d Г = 0 (m)
dx dy dz 4 '
. da
~w
Как известно, ^- выражает коэффициент, который имел бы у в дифференциале-
^-, в предположении, что а была выражена как функция х, у, z, t\
и аналогично в отношении других подобных выражений. Итак, поскольку
величины а, р, у являются согласно допущению функциями X, У, Z, нужно
будет заменить в а, р, у переменные X, Y, Z их значениями, выраженными
через х, у, z, и затем дифференцировать, считая х, у, z переменными или,
что то же самое, дифференцировать сначала величины а, р, у, заставляя
меняться X, Y, Z и заменить затем dX, dY, dZ их значениями, выраженными
через dx, dy, dz.
Из выражений dx, dy, dz, приведенных выше, найдем по общим правилам
Алгебры:
. " (QU - RT) dx + (NT - MU) dy + {MR - NQ) dz dX= _ ,
w (RS - PU) dx + {LU - NS) dy + {NP ~ LR) dz
ay - K
A7 (PT - QS) dx + {MS - LT) dy + {LQ - MP) dz
az---------------------K-
к подставлено для краткости вместо LQU - MPU + MRS - NQS + + NPT - LRT.
Так как da есть разность a, которая возникает из разностей dx, dy, dz,
или из разностей dX, dY, dZ, то, следовательно, в общем получим
d a = -^dX + ^dY + ^-dZ;
кроме того, в силу того, что разность х есть полный дифференциал, будем
иметь
da dL da dM da dN
YtX = ~df ' ~dY ~~ ~dT ' ~dZ ~~ ~df;
Итак,
, dL ,v , dM ... , dN
da = ~WdX + 4FdV + 4fdZ' так же будет найдено
Ао dP ,v . dQ dR A7
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА, ИЗЛОЖЕННОГО В ПРЕДЫДУЩЕМ МЕМУАРЕ
147
Подставляя вместо dX, dY, dZ значения, найденные раньше, получим
(QU -rt)*L + (.RS -pu)"M- + (PT- QS) da =-------------------------^ dx
+
(NT - MU) ^jf+(LU~ NS) + (MS - LT) ~
H-----------------------------------------------K------------------------
----------------------d у +
(MR - NQ) -dt + (NP -LR)*? + (LQ - MP) -d~-+-----------------------------
------------------K----------------------------------------------dz,
(QU RT) -jr- + (RS - PU) + (PT - QS) ??-
d/3 =------------------------K--------------dx +
(NT - MU)??- + (LU - NS)??- + (MS - LT)??-+ ----------------------------K
?---------------- dy -f
(MR - NQ) ??- + (NP - LR) ??- -f (LQ - MP) d?
H-------------------------v,----------? -dz ,
1\
(QU -RT)??- + (RS ~ PU)~ + (PT - QS) ??f dy =----------------------------
K------dx +
(NT - MU)??- + (LU - NS)??- + (MS - LT) ??
+----------------------------------к---------------------------------:-dy
+
(MR -NQ)??- + (NP - LR)??- + (LQ - MP)?]?
^ K ¦ dz.
Итак, взяв в выражении da коэффициент dx, в выражении d/5 коэффициент dy
и в выражении dy коэффициент dz, получим значения -¦, и уравнение (ш)
примет вид
(QU - RT)?? + (RS - PU) ?*? + (PT - QS) ?? +
+ (NT - MU) ~ + (LU - NS) ?~- + (MS - LT) +
-f- (MR - NQ) ??- -f- (NP - LR) ??- -J- (LQ-JVP)-^ = 0,
dK
или, что то же самое, - - 0, откуда К = const, т. е. LQU - MPU +
-f MRS - NQS + NPT - LRT = И, где Н есть функция X, У, Z, не содержащая
t, т. е. Н есть значение К при t = 0.
В отношении двух уравнений (/) заметим, что d есть то же самое, что ,
поэтому остается только продифференцировать значение da,
Ю*
14$
Ж. ЛАГРАНЖ
найденное выше, по времени t; Тогда получим
. da _ (PL ,v dm .v . d*N
dt dP dX + dP ^ (IP '
аналогичным образом найдем
d ^ jy f d2Q ,y . d2R
dt dt2 dX + dP ^ dP '
, dy rf2S ,v . cPT ... . dW
dt dP ^ dP + dP '
Заменим также в этих выражениях (как это сделано выше в выражениях da,
d(i, dy) значения dX, d Y, dZ на dx, dy, dz, и, взяв коэффициенты при dy
и
dz дифференциала d и коэффициенты dx в дифференциалах d и d ~ ,
получим значения
н da da dd dy
d ~ж~ d d d -tt
dt dt dt dt
dу ' dx ' dx ' dx '
которые, будучи подставлены вместо этих величин в уравнения (/), дадут
нам, если отбросить общий знаменатель К, два уравнения :
(NT - MU)-%- + (LU - NS) + (MS ~ LT) =
= (QU ~RT)^~+ (RS -PU)W- + (PT - QS) -g- ,
(MR - NQ) -±r + (NP ~LR) d](tm) + (LQ -MP)^ =
