Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 71

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 65 66 67 68 69 70 < 71 > 72 73 74 75 76 77 .. 461 >> Следующая

dm = D dxdy dz,
и уравнение (L) примет вид
f S* dx dy dz D j^d ~ + П dfj dx + (d + Q dt j dy +
+ (d^ + Wdt)dz] = 0. (a)
Я ставлю показатель степени 3 к знаку S, чтобы выразить три интеграции,
содержащиеся в этом знаке относительно трех переменных х, у, z, которые
мы в последующем будем рассматривать каждую отдельно.
Так как мы считаем жидкость несжимаемой, то объем каждой частицы dm,
выраженный как dx dy dz, остается всегда одним и тем же; следовательно,
dy dz d dx -f dx dz d dy -f dx dy d dz = 0,
138
Ж. ЛАГРАНЖ
т. е.
ddx.ddy.ddz "
+ ~н^~~ + "ST" = и >
dx 1 dy 1 dz
или, подставляя dd вместо dd,
ddx . d dy . ddz n ...
-dr + ^T + ^ = °- <b>
Аналогично получим
dy dz 8 dx + dx dz 6 dy + dx dy 6 dz = 0,
или
dy dz d бх + dx dz d dy + dx dy d 6z = 0,
что дает
и, следовательно,
S d бх = бх = 6 'x - S dx (~jy- + • (c)
Здесь б'х есть значение бх, когда интеграл S dx Равен нулю, но
так как этот интеграл должен быть взят при условии, что только х
изменяется, то отсюда следует, что величина б'х будет постоянной
относительно х, но переменной относительно у и z, т. е. что эта величина
будет функцией у и z.
Итак, после подстановки .в уравнение (а) вместо бх только что найденного
его значения, интегральное выражение
S3 dx dydzD^d^ + ndt) дх
перейдет в следующее :
S3 dxdydzD{d~ + n dt) д'х -
- S° dx dy dz [D [t ? + П it) Six (4^ + -!?.)] . Записываю сначала первый
преобразованный член так:
S2 dy dzSdxD^d- +ndt) д'х,
это выражение, как хорошо видно, эквивалентно только что приведенному
Пусть полное значение
SdxD(d~ + IIdt)
будет выражено через Тdt; ясно, что так как б'х постоянно относительно х,
то получим
SdxD(d~ + Пdt) д'х = 6'xSdxD (d ^ + Пdt) = б'х Тdt; следовательно,
S3 dxdydzD^d-^ + П dt) д'х = S2 dy dz Т dt д'х.
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА, ИЗЛОЖЕННОГО В ПРЕДЫДУЩЕМ МЕМУАРЕ 139
Я представляю также второй член в следующей форме:
S2 dy dz s dx [d {d ^ + dt) S dx +4r)];
затем я преобразую интеграл
S dx[D [d ¦§¦ + П dl) S dx (А? + -AfE-)] по методу п. IX предыдущего
Мемуара; предполагая для сокращения Udt-=Tdt-SdxDfd~ + ndt) , получим
преобразованное выражение
где остается только один знак интеграции; предложенное выражение примет
тогда вид
52 dy dz S dx U dt + "IF") > или, что одно и тоже,
53 dx dy dz Udt ,
где остается только исключить разности ду и dz.
Для этого необходимо рассмотреть сначала интеграции, относящиеся к
переменным у и г, представив этот интеграл в следующем виде:
S' dx d2 S dv "AML + S> dx dy S dz ,
Итак, обычным методом интегрирования по частям, находим
S *,¦!!%*
Я пишу S dy ду вместо равного ему Sd(V dt) dy для того, чтобы указать,
что этот интеграл, так же как дифференциал dU dt, должен быть взят с
учетом переменности только одного у. Пусть 'у есть значение у в начальной
точке
интеграла S dy dy, а у'-значение у в его конечной точке и пусть 'U
будет значение U при подстановке 'у вместо у и U' - значение U при у= у';
по примечанию к п. I предыдущего Мемуара мы найдем, что полное значение
выражения U dt dy будет U'dt ду' - 'U dt d'y.
Но даже при непродолжительном размышлении над смыслом выражений
легко видеть, что когда U = 'U, то интеграл SdxD {d~ + ITdt) равен
нулю, а когда U = U', то этот интеграл как раз равен Т dt. Поэтому будем
иметь '(/ = Г и U' = О ; следовательно, окончательно
SdyJ^=-T6y-S4y^S-Sy.
При помощи таких же действий и рассуждений получим
S dz ~ = - Td'z - S dz d ^zdt) dz;
140
Ж. ЛАГРАНЖ
итак,
S3 dx dy dz U dt (¦
d dy d <5z
dy
dz
перейдет в
- S2 dx dz T dt d'y - *S2 dx dz S dy d ^ ^ dy -
- S2dx dy Tdtd'z-S2 dxdySdz A{^zdt)-dz,
или, по приведении,
- S2 dx dz T dt d'y - S2 dx dz T dt d'z - S3 dx dy dz (d (^° dy + ~^<5z]
; а следовательно,
S3 dx dy d zD{d~ + IIdt) dx = S2 dy dzT dtd'x - S2dxdzdtd'y -
- S2 dx dy T dt d'z + S3 dx dy dz fy + d •
Тогда уравнение (а) примет вид
j (S2 dy dz T dt д'х + S2dxdzTdt d'y + S2 dx dy T dt d'z) +
+ J S3 dx dy dz |j d(^,- + D (d^ + Q dy +
+ [^l+D(d^- + Wdt)]dz]i = 0; (d) отсюда получим для движения каждой
частицы жидкости в общем случае
"<?">-+D (if + Ол)-0,
d(Udt)
dz
+ D(d^ + Wdt) = 0.
(е)
Затем, чтобы удовлетворить оставшейся части уравнения, положим
S2 dy dzT dtd'x + S2 dx dz T dt d'y + S2 dx dy T dt d'z = 0 . (f)
XLI. Следствие I. Значение U dt, равное T dt - S dxD {d^- + П dij ,
представляет собой интеграл, взятый только при переменном х ; подставим
это значение в уравнение (е), но чтобы иметь возможность исключить
знак S, возьмем дифференциалы этих двух уравнений, предполагая пере-
d (Udt)
менными только х, что даст при подстановке вместо v '
- D (d ~ + Л dtj два уравнения :
d[D(d-§ + Я*)] _ d[o|^+fl")]
dy dx '
d[B(d* +пш)] d[o(df + n)]
его значения
dz
dx
(g)
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА. ИЗЛОЖЕННОГО В ПРЕДЫДУЩЕМ МЕМУАРЕ
141
которые, будучи присоединены к уравнению (Ь), найденному выше, дадут
возможность найти значения х, у, z для любого времени.
XLII. Следствие II. Таковы уравнения, при помощи которых можно в общем
определить движение неупругой жидкости, подвергнутой действию каких-либо
Предыдущая << 1 .. 65 66 67 68 69 70 < 71 > 72 73 74 75 76 77 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed