Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
замкнутая кривая, то в этом случае х' = 'х, у' = 'у, z' = 'z, и общее
уравнение примет вид
- (d'x б'х + d'y б'у + d'z 6'z) - 0 ,
откуда 7 = 0, как в первом случае (п. 1).
Все эти уравнения, впрочем, должны проверяться при помощи констант,
которые будут найдены в общих уравнениях предыдущего параграфа после их
интегрирования.
XXXII. Схолия III. Представим себе, что нить нагружена телом с
конечной массой М', и находится под действем каких-либо сил Р', Q',
R',...
ПРИМЕНЕНИЕ.МЕТОДА, ИЗЛОЖЕННОГО В ПРЕДЫДУЩЕМ МЕМУАРЕ
135
Ясно, что в этом случае выражение, которое должно быть максимумом или
минимумом, не будет просто S dm J uds, а будет
S dm J и ds + М' J и' ds',
где и' - скорость тела М', a ds' - элемент кривой, которую тело
описывает. Это последнее выражение, будучи преобразовано, как выражение
задачи I, даст для своего дифференциала
+ dx'+ [d ^-+ Q'dt) dy' + frf + W dt) dz'] .
Эту величину мы прибавим к первому члену общего уравнения предыдущего
параграфа и получим
- j [(АГ d ~ +M'Wdt-k dt) бх' + lM'd^r + M'Q'dt- ^ kdt) бу'+
+ M'W dt -j^kdt) dz' + (d'xd'x + d'y d'y + d'z d'z) ^^dt\ -
_$S[{d-^^ + d^kdt + dmdf + dmQdt) dy-
~ (d + A^kdt + dmd^r + dmVdt)dz] = 0. (P)
Члены, находящиеся под двойным знаком J S, дадут для движения нити вообще
те же уравнения п. XXX, которые не имеет смысла повторять. Другие члены
дадут уравнение
[M'd^f + М' П' dt - к dt) dx' + \м'd + М' Q' dt - %kdt) dy' +
+ (M'd-^- + АГ W' dt - ^7 kdt) dz' + (d'xd'x+d'y d'y+ d'zd'z) dt=0.
Итак, если тело M' свободно таким образом, что разности бх', бу', 62'
остаются неопределенными, то
М' [d + П' dt) - kdt - О,
М' (d^L-f dt)-%-kdt = О,
+ V'dt)-^km -о.
Эти уравнения будут служить для определения движения тела М'.
Если это тело вынуждено двигаться по поверхности, заданной уравнением
dz' = т' dx' + n' dy',
то подставим, как обычно, т' дх' + п' ду' вместо 6z' и выведем следующие
уравнения :
M'(d *?- + n'dt) -kdt+ [at (d ^ + W dt) - -~kdt)m' = О,
M' {" Т + "<) -%¦кot + К (" ж + ч"'*) - % "*]¦= 0¦
136
Ж. ЛАГРАНЖ
Для членов
(d'x <5'х + d'y д'у + d'z d'z) dt,
которые относятся к начальной точке нити, они образуют те же условия, что
и в предыдущем параграфе, в зависимости от различных обстоятельств
движения этой точки. Но если представить себе сверх того в этой точке
другое тело 'М, побуждаемое силами 'Р, 'Q, таким образом,
чтобы нить была нагружена обоими телами 'М, М\ неподвижно закрепленными
по концам, тогда мы имели бы для формулы максимума или минимума
и нашли бы, сделав расчет, подобный приведенному выше, что первый член
уравнения (Р) примет вид
- 'МI {{d + 'ndt) д'х + {d4T+'Q dt) д'У + (d 4г + '^ dt) Н '
что не меняет ничего в формулах, найденных для движения нити и другого
тела М'; сверх того, будет получено уравнение
из которого можно получить для движения тела 'М формулы, аналогичные
формулам, найденным для тела М'.
XXXIII. Задача VII. Решить предыдущую задачу, предположив, что нить
сжимаемая и упругая.
Решение. Пусть F - пружина, или сила сжатия каждого элемента нити, тогда
получим при помощи уравнения (U) п. VIII
Sdmudu = - Sdm(Pdp + Q dq + Rdr + ...) - Sf df,
что дает при умножении на dt и подстановке П dx + Q dy + dz вместо Р dp +
Q dq + R dr + ... и ds вместо /, уравнение
Sdmududt = - S dm(II dt dx + Q dt dy + W dt dz) - Sf dtdds. , (Y)
Sdm § uds + M' f u' ds' + 'M J 'ud's,
['Md4r + 'M'IIdt+ {T + k) dt\ d'x +
+ ['Md4f + 'M'Qdt + (T + k) dt] d'y +
+ ['Md ^L+'M"Fdt + -^(T + k) dt] d'z = 0 ,
Если
ds == fdx2 + dy2 + dz2 ,
TO
d ds =
dx d dx + dy 6 dy + dz 6 dz
dx d dx + dy d<5 у + dz d dz
ds
ds
следовательно, подставляя это значение в Sf dt d ds и интегрируя по
частям с соответствующими константами, получим
Sf dtdds= (dx' dx' + dy' dy' + dz' dz') -
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА, ИЗЛОЖЕННОГО В ПРЕДЫДУЩЕМ МЕМУАРЕ
137
Теперь, чтобы решить задачу, остается только подставить в уравнение (К)
п. XXIX вместо Sdmu ди dt только что найденное значение; тогда получим
- j [ (dx' дх' + dy' ду' + dz' dz') -pf- - (d'x d'x + d'y d'y + d'z d'z)
+
+ j" ¦ F^X dt - dmlldt - dmd dx +
+ (d -^j^-dt - dmQ dt - dmd dy +
+ j^d -~ dt - dm W dt - dm d dz j = 0,
откуда, для общих уравнений движения нити найдем d^dt-dm(lldt + d^) = 0,
dfSLdt~dm [Qdt+dlit) = 0'
6-^dt-dm(Vdt + d^) = 0,
что согласуется с тем, что было найдено в п. XXVII, если подставить Q -
О, W = 0 и-Р вместо П. Сверх того, будем иметь уравнение
F' di 'PH/
(dx' dx' -f dy' dy' -f dz' dz') -pp (d'x d'x + d'y d'y -f d'z d'z) d,^ -
= 0 ,
которое рассматривается так же как уравнение (Р), и из которого можно,
следовательно, сделать, такие же выводы о движении обоих концов нити. Эти
подробности я оставляю читателю.
XL. Задача IX. Найти законы движения неупругих жидкостей. Решение.
Очевидно, что уравнение (L), которое служило для решения предыдущей
задачи, имеет место и здесь, так как оно является общим для некоторой
системы частиц dm, которые двигаются под действием каких-либо сил Р, Q,
/?,...
Пусть D - плотность каждой частицы dm жидкости, тогда
