Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
же отношении, как прямая AR к АВ, находились между собою диаметр
производящего круга циклоиды ARS и
некоторая четвертая величина ; последняя и будет диаметром производящего
круга искомой циклоиды ABL, проходящей через точку В.
Перед тем как закончить, я не могу воздержаться от того, чтобы еще раз не
выразить своего изумления по поводу отмеченного неожиданного тождества
между гюйгенсовой таутохроной [8] и нашей брахистохроной. Сверх того, я
считаю необходимым отметить, что это тождество вытекает только из
основного положения Галилея; уже из этого можно было бы заключить, что
это положение находится в согласии с природой. Природа всегда действует
простейшим образом, так и в данном случае - она с помощью одной и той же
линии оказывает две различные услуги. Наоборот, при всяком другом
предположении для этого потребовалось бы две линии : одна для колебаний
равной продолжительности и другая для быстрейшего спуска. Так, если бы мы
для примера допустили, что скорости падающих тел относятся между собою не
как квадратные, а как кубические корни из высот, то брахистохрона
представляла бы собою алгебраическую линию, а таутохрона -
трансцендентную ; а если бы скорости были пропорциональны высотам, то обе
эти линии были бы алгебраическими, а именно, первая была бы круговой, а
вторая, конечно, прямой.
КРИВИЗНА ЛУЧА В НЕОДНОРОДНЫХ ПРОЗРАЧНЫХ ТЕЛАХ
17
Я полагаю, что геометрам доставит некоторое удовольствие, если в качестве
приложения я здесь приведу решение задачи, также крайне достойной
исследования, - задачи, которая пришла в голову пишущему эти строки в
связи с расмотренным выше случаем.
Требуется в вертикальной плоскости (рис. 3) найти кривую РВ, которую
можно было бы назвать "синхронной", с тем, чтобы тяжелое тело, падающее
из точки А по смежным циклоидам АВ, достигло различных точек В этой
кривой за одно и то же время.
Пусть AG - горизонтальная линия, а АР - вертикальная. Смысл настоящей
задачи заключается в том, что если на АО провести какую-нибудь циклоиду,
то от последней отсекался бы такой кусок АВ, что для прохождения его
тяжелому телу, падающему из точки А, потребовалось бы столько же времени,
сколько ему понадобится для падения с указанной высоты по вертикальной
линии АР ; если поступить указанным образом, то точка В будет лежать на
искомой "синхронной кривой" РВ.
Если внимательно продумать то, что нами было выше сказано о луче света,
то нетрудно будет понять, что рассматриваемая кривая представляет собою
то же самое, что и кривая, изображенная Гюйгенсом на чертеже в его
сочинении "О свете", стр. 44, с помощью линии ВС и названная им волной.
Подобно тому, как последняя, согласно прекрасному замечанию Гюйгенса,
нормально пересекает все лучи, исходящие из светящейся точки, точно так
же и наша линия РВ встречает под прямыми углами все циклоиды АВ, имеющие
общее начало в точке А.
Если бы решить превратить эту задачу в чисто геометрическую и представить
ее в следующем виде :
Определить кривую, которая нормально пересекает все циклоиды, имеющие
общее начало, то, конечно, она задала бы геометрам большую работу. Между
тем с иной точки зрения, где принимается во внимание рассмотренное выше
падение тел, я эту задачу разрешаю с помощью следующего чрезвычайно
легкого построения.
Пусть имеется производящий круг GLK циклоиды АВК и его диаметр GK;
отсечем дугу GL, равную средней пропорциональной между определенной
избранной линией АР и диаметром GK; тогда я утверждаю, что линия LB,
проведенная параллельно горизонтали AG, пересечет циклоиду АВК в точке В.
Если бы кто-нибудь пожелал применить свой метод к другим линиям, пусть он
определит линию, которая пересекает под прямыми углами надлежащим образом
заданные по своему положению кривые линии, конечно, не алгебраические,
что было бы не очень трудно, а трансцендентные, например логарифмические,
лежащие на общей оси и проведенные через одну общую точку.
2 Вариационные принципы механики
П. МОПЕРТЮИ
ЗАКОН ПОКОЯ [9]
Если Науки и основываются на некоторых, с первого взгляда простых и ясных
принципах, из которых вытекают все истины, являющиеся их предметом, то
они содержат также и другие принципы, правда, менее простые и часто
открываемые с трудом, но которые зато, будучи раз открыты, оказываются
исключительно полезными. Эти принципы являются своего рода законами,
которых природа придерживается при различных комбинациях обстоятельств, и
мы исследуем, как она поступает в таких случаях. Первые принципы совсем
не нуждаются в доказательстве ; они становятся очевидными, как только ум
начинает их исследовать ; последним нельзя дать общее доказательство,
потому что вообще невозможно обозреть все случаи, в которых они имеют
место.
Таков, например, весьма известный и полезный в обыкновенной Статике
принцип, согласно которому во всех соединениях тел их общий центр тяжести
опускается вниз настолько, насколько это возможно. Таким же является
принцип сохранения живых сил. Строго говоря, никогда не было дано общего
