Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
Даниил Бернулли и Эйлер назвали сохранением момента вращательного
движения и который состоит в том, что сумма произведений массы М каждого
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА, ИЗЛОЖЕННОГО В ПРЕДЫДУЩЕМ Л'.ЕМУАРЕ
129
их dip
тела на его круговую скорость -и на расстояние х до центра постоянна
во время движения системы (см. Merr.oires de l'Academie royale des
Sciences de Berlin, 1745 г. и Opuscules г. Эйлера, изданные в Берлине в
1746 г.).
То же уравнение (G) содержит также принцип г. кавалера д'Арси, гласящий,
что сумма произведений массы каждого тела М на скорость и и на
у2
перпендикуляр -, восстановленный из центра на направление движения тела,
всегда является постоянной величиной (см. Memoires de l'Acade-mie de
Paris, 1749, 1752).
XIII. Пр имечание. Легко обнаружить при помощи способа, который я дал в
примечании к п. VI, что уравнение (U) будет вообще справедливым всякий
раз, когда формула
- M(Pdp + Qdq +Rdr + ...) - AT (Р'dp' + Q'dq'+ R'dr'+ ...) - ...,
которая выражает величину
Mu du + АГ и' du' + М" и" du" + ...,
будет полным дифференциалом. Во всех других случаях, это уравнение не
сможет служить для нахождения условий максимума или минимума
интегрального выражения
М J и ds + M' J и' ds' + М" J и" ds" + ...,
но всегда будет пригодно для нахождения движений тел М, М', М",...,
каковы бы ни были силы, их вызывающие. Таким образом, не затрудняясь
определением, является ли формула, о которой мы говорили, действительно
максимумом или минимумом, можно всегда, при любой гипотезе о силах,
использовать уравнение (U).
XXIX. Задача IV. Найти движение негибкой нити, на каждую точку которой
действуют какие-либо силы Р, Q, R,...
Решение. Сохраняя обозначения, данные в п. XXV, обозначим, кроме того,
через и -¦ искомую скорость каждого элемента, ds - малое расстояние,
которое он проходит за время dt; легко заметить, что выражение нашего
общего принципа примет вид
Sdm f uds[29].
Согласно нашему методу уравнение
6 Sdm \ и ds = О
в силу постоянства dm при изменении кривизны нити преобразуется в
S dmd J uds = 0,
Sdm J (и д ds + ди ds) = Sdm J uSds + Sdm f и du dt = 0,
ds
где вместо - подставлено dt.
Теперь, если взять для каждого элемента нити три прямоугольные координаты
х, у, z, как это сделано в задаче I, то получим
dds = (dx dd х -f dy d dy -f- dz d dz)
и
j и d ds = - J [d dx + d dy + d ^ <5z),
130
Ж. ЛАГРАНЖ
где опять dt подставлено вместо--.Тогда интеграл Sdm J и bds примет вид
- J Sdm[d -dx + d-^-dy +d~dzj,
где переставлены знаки S и J, что, очевидно, разрешается.
Такой же перестановкой знаков изменим выражение
Sdm^ududt на J Sdmududt
и получим уравнение
JSdm(ududt-d~dx-d-]~-dy-d^ <5?) = 0. (К)
Теперь речь идет о том, чтобы найти значение S dmu ди dt. Нетрудно
видеть, что уравнение (U) п. VIII, примененное к данному случаю, дает
Sdmudu= - Sdm (Рдр + 'Qdq + Rdr + ...).
Умножив это уравнение на dt, значение которого одинаково для всех
элементов нити, получим
Sdmududt= - Sdm(Pdp + Q dq + Rdr + .. .)dt,
или подставляя в соответствии с предположениями, сделанными в п. I, Пдх +
Q ду + УР dz вместо Р др + Q dq + R дг + ..найдем
Sdmududt = - Sdm (П dtdx + Qdtdy + Wdtdz). (X)
Это значение, подставленное в уравнение (К), дает
- Jw + ndt)dx + (d4f + Qdt)ду + (d-%r+4*dt) fc] = 0. (L)
Так как каждый элемент нити ds = Vdx2 -f- dy2 + dz2,
предполагается
негибким, то мы будем иметь, как в п. XXV, уравнение
, ddx , . ddy , , ddz ~
~Ш~ У ~~dt ~dT =
По той же причине
б fdx2 + dy2 + dz2 = 0,
что дает
dx д dx + dy д dy + dz 6 dz = о.-и, поменяв местами д и d, получим
dx d дх + dy d ду -f- dz d dz - 0,
откуда найдем
, " dy d dy + dz d dz
.
Интегрируя, получим
Sddx~dx = d'x-S йуйду+хйгйдг ,
где d'x есть значение дх, когда интеграл, обозначенный S, равен нулю,
или, иначе говоря, значение дх на начальном конце нити. Подставив это
значение дх в уравнение (L), получим из выражения
Sdm (d + П dij дх
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА, ИЗЛОЖЕННОГО В ПРЕДЫДУЩЕМ МЕМУАРЕ
131
выражение
Sdm(d^ + ndt)d'x-Sdm[(d"*f + ndt)S(^ddy + ^ddz)].
А так как разность 8'х есть постоянная величина, то она может быть
вынесена за знак интеграла; следовательно, если Т dt выражает полное
значение интеграла
S dm [d + П dtj,
то выражение S dm{d + П dtjd 'х сведется просто к Tdt 8'х. Теперь надо
исключить разности 8у и 8z в выражении
[Sdm(df + ndt)S(%i"y + ?d"z)],
что можно легко сделать с помощью метода, изложенного в п. IX предыдущего
Мемуара [(r)° ]. Следуя этому методу, мы находим, что если Т dt
представляет, как и выше, полное значение интеграла
Sdm (d + П dt j,
и если обозначить для краткости
Tdt-Sdm [d~ + ndtj = Udt,
то получим
S dm {d J- + П dt) S -% d dy = ду-Sd U dtJy dy,
и также
+ n ") S * d te _ & - Sd *,
где выражения, которые находятся вне знака интеграла S, должны быть взяты
согласно условиям, изложенным в п. 1 предыдущего Мемуара; значение U dt,
которое соответствует конечной точке нити, равно нулю,
потому что Sdm{d.^- + П dtj становится здесь равным Т dt и для начальной
