Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
d(M$uds)+d (М' J и' ds') + д (М" J и" ds") + ... = 0, или, так как М есть
константа (п. 1), то
д(М f и ds) = М д J и ds = М J* (и d ds + иди dt) = JМ (иди ds + и dudt).
Подставляя dt вместо, -^г,. • •, найдем
д (М' j' и' ds') = $ М' (и' д ds' + и' ди' dt),
д (М" J и" ds") = J М" (и" д ds" + и" ди" dt), и т. д.
В результате получим уравнение
j [Ми dds + М'и' д ds' + М"и" dds" + ...
... + (Миди + М'и' ди' + М"и" ди" + ...)dt] = 0. (D)
Пусть теперь р, q, г,... - расстояния от тела М до центров сил Р, Q,
R,... и р', q', г',..р", q", г"... - расстояния других тел М', М" до
центров их сил Р', Q', R',.. .,Р", Q", R",... Пусть, кроме того, / будет
расстояние между телом М и телом М' и F - сила, с которой каждая точка
одного тела притягивает каждую точку другого ; /' - расстояние между
телами М' и М", a F' - сила их притяжения и так далее. Пусть g -
расстояние между телом
М' и телом М" и G - их протяжение, и так для всех других тел ;
по об-
щему принципу сохранения живых сил получим уравнение
Ми2 + М'и'2 + М"и"2 + ... = MU2 + M'U'2 + M"U"2 + ... =
= - 2 М J (Р dp + Q dq +R dr + ...) -
- 2М' j(Р' dp' +Q' dq' + R' dr' +...)-
- 2 M" J (P* dp" + Q"dq" +R"dr" + ...)-
- 2 MM' jFdf-2 MM" J F' df' - ... - 2 M'M" J G dg - ...,
где U, U', U",... - первоначальные скорости тел M, М', М",...
Итак, предположив, что
Р = fonct р, ?>=fonct<7, R = fonctr, ... ,
Р' = fonct р', Q1 = fonct q', R' = fonct r', ... ,
F = fonct G = fonct g , ... ,
найдем при помощи вычисления, аналогичного проделанному в задаче I,
дифференциальное уравнение:
Ми ди + М'и' ди' + М"и" ди" + ... =
= - М (Р dp -J- Q dq -j- R dr -)-...) -
- M' (P' dp' + Q' dq' +R' dr' +...) -
- M" (P" dp" + Q" dq" + R" dr" +...)-
- MM'F df - MM" F'df - ... M'M" Gdg -
(U>
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА, ИЗЛОЖЕННОГО В ПРЕДЫДУЩЕМ МЕМУАРЕ
125
Теперь надо найти значения разностей д ds, д ds', д ds",..., которые
зависят, очевидно, от природы координат, примененных для представления
кривых, описываемых каждым телом.
IX. Первый случай. Пусть, как в п. I, х, у, z - три прямоугольные
координаты, которые определяют положение тела М в какое-либо время, пусть
также х'> у', г', х", у", г",... - другие прямоугольные координаты,
параллельные первым, для положения тел М', М", в то же самое время; мы
получим, как в п I,
а также
t , dx d <5х + dy d ду + dz d dz
o as - ds ,
x a / _ dx' ddx' + dy'd dy' + dz'd Sz'
О ds - jp ,
^ __ dx" d Sx" + dy" d dy" + dz" d dz^_
ds"
и так далее.
Подставим эти значения в уравнение (D), исключим, как обычно,
дифференциалы дх, ду, dz, Sx', ду',... ; тогда получим, пренебрегая всеми
членами, не стоящими под знаком J, которые можно положить равными нулю в
соответствии с примечанием к п. II, следующее выражение:
М d^- дх + М d ^ ду + М d ^ dz + № d дх' +
+ M'd ду' + M'd dz' + M"d dx" +
1 ds ds ds
+ M" d ду" + M" d u'df-dz" +
- {Mu da + M'a' da' + M"a" du" + ...) rff] = 0 . (E)
Теперь остается только подставить в это уравнение вместо Ма du + М'и' du'
+ М"и" du" + ...] его значение, взятое из уравнения (U), и затем привести
разности dp, dq, dr, ... , dp', dq', ...,df, df, ... ,dg, ...
к разностям
dx, dy , dz, dx', dy', dz',. . . ,
методом, аналогичным примененному в предыдущей задаче. После этого, если
каждое тело полностью свободно так, что все разности дх, ду, dz, дх',
ду,... остаются произвольными, то приравняв коэффициенты при каждом из
них нулю, получим в три раза больше уравнений, чем тел. Эти уравнения,
взятые в совокупности, достаточны для определения всех искомых скоростей
и кривых. Но если одно или несколько из этих тел вынуждены двигаться по
данным кривым или поверхностям и, кроме того, действуют друг на друга
либо толкая, либо дергая друг друга при посредстве нитей или негиб-
126
Ж. ЛАГРАНЖ
ких стержней или каким-либо другим способом, то тогда будем искать
соотношения, которые должны иметь место между разностями dx, dy, dz, дх',
ду',... Этим мы уменьшим их число до минимально возможного и, положив
затем коэффициенты при каждом из них равными нулю, получим все уравнения,
необходимые для решения задачи.
X. Следствие. Предположим, что система совершенно свободна и тела
действуют друг на друга каким-либо способом; предположим, кроме того, что
все тела подвержены действию трех сил Р, Q, R, направленных параллельно
координатам х, у, z и одинаковых для каждого из тел; подставим в
уравнение (U) X, у, z вместо р, q, г и получим
Ми ди + М'и' ди' + М"и" ди" + ... =
= - М(Рдх + Qdy + Rdz) - М' (Р дх' + Qdy' + Rdz') -
- М" (Р дх" + Q ду" + R dz") - ... - ММ'F df -
- MM"F' df - ... - M'M"G dg- ...
Подставим это значение Ми ди + М'и' ди' + ... в уравнение (Е), и пусть х'
= х + X , у' = у + V , z' = z -f Z, х" = х + Х', y" = y+Y', z" = z + Z',
Вследствие равенств
дх' = дх + дХ , ду' =dy + dY , dz' = dz + dZ, дх" = дх + дХ', ду" = ду +
dY', dz" = dz + dZ',
ясно, что линии /, /', g,..., которые определяют расстояния между телами,
будут зависеть исключительно от линий X, Y, Z, X', Y', Z',..., которые
