Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 6

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 461 >> Следующая

пробегая по ней со скоростью, постоянно возрастающей или убывающей в
соответствии с плотностью слоев, дойдет от одной точки до другой в
кратчайшее время. Известно также, что так как синусы углов преломления в
14
И. БЕРНУЛЛИ
отдельных точках пропорциональны разреженности среды, т. е.
пропорциональны скоростям шарика, то указанная, кривая обладает тем
свойством, что синусы углов наклона ее к вертикальной линии повсюду
находятся в отношении, пропорциональном отношению скоростей. После
сказанного выше можно без труда понять, что указанная кривая представляет
собою брахистохронную линию, образуемую лучом, проходящим через среду,
разреженности которой пропорциональны скоростям, приобретаемым тяжелым
телом, падающим по вертикальной линии.
Таким образом, зависит ли увеличение скорости от природы среды,
оказывающей большее или меньшее сопротивление, как мы это имеем в случае
луча, или же следует отвлечься от среды и от любых других причин, но мы
видим, что ускорение создается по тому же закону, как и в случае движения
тяжелых тел. Так как в обоих случаях кривая подчинена тому условию, что
она должна быть пройдена в кратчайшее время, то что мешает нам поставить
одно на место другого?
Г А _________G_________
/ 0 \м /Д 0 J
' с Рчул \
п \
й -^-
К
Рис. 1.
Таким образом, можно разрешить нашу задачу в общем виде, какой бы закон
ускорения мы ни установили. Действительно, задача сводится к тому, что
требуется определить кривизну луча в среде, изменяющейся каким угодно
образом, в соответствии с разреженностью этой среды.
Итак, пусть имеется среда FGD (рис. 1), ограниченная горизонталью FG, на
которой расположена излучающая точка А. Пусть будет дана вместе с
вертикальной осью AD кривая АНЕ, ординаты которой НС определяют степень
разреженности среды на высотах АС или скорости луча, либо шарика в точках
М. Искомый искривленный луч пусть будет представлен линией АМВ. Обозначим
АС через х, СН - через t, СМ - через у, дифференциал Сс - через dx,
дифференциал пт -через dy, дифференциал Мт - через dz, некоторую
произвольно взятую постоянную величину - через а. Отрезо-чек Мт будет
полным синусом, тп будет синусом угла преломления, т. е. угла наклона
кривой к вертикальной линии, а потому в силу того, что мы только что
сказали, тп находится к НС в постоянном отношении, т. е.
dy _ dz t а '
отсюда получается следующее уравнение :
ady = tdz
КРИВИЗНА ЛУЧА В НЕОДНОРОДНЫХ ПРОЗРАЧНЫХ ТЕЛАХ
15
ИЛИ
аа dy2 = tt dz2 = tt dx2 + tt dy2,
последнее же после преобразования даст для искомой кривой АМВ общее
дифференциальное уравнение
, tdx
dy = -7=^..-- .
У аа - tt
Я, таким образом, одновременно решил две замечательные задачи - одну
оптическую, другую механическую, т. е. я сделал больше того, что требовал
от других. Я показал, что хотя эти две задачи взяты из совершенно
различных областей науки, тем не менее они имеют одинаковую природу.
Возьмем теперь специальный случай, а именно обычное положение, впервые
введенное и доказанное Галилеем, согласно которому скорости падающих
весомых тел находятся между собою в отношении корней квадратных их
пройденных высот ; ведь к этому, собственно, и относится существо нашей
задачи. При указанных допущениях заданная кривая АНЕ будет параболой, т.
е.
tt = ах
и
t = fax.
Если мы подставим это в общее уравнение, то будем иметь
dy = dx
на основании чего я прихожу к заключению, что брахистохронная кривая
является обыкновенной циклоидой.
В самом деле, если круг GLK, диаметр которого равен а, будет катиться по
AG и если начало качения будет в точке А, то точка К опишет циклоиду,
относительно которой можно установить, что она имеет то же
дифференциальное уравнение
dy = dx
если обозначить АС через х и СМ через у.
Полученное уравнение может быть преобразовано a priori аналитически
следующим образом:
dx
но
х dx adx a dx - 2 х dx
I а -х У ах -хх 2 У ах - хх 2 У ах - хх '
adx - 2 х dx
2Уах - хх
является дифференциалом*величины, равной У ах - хх, т. е. ID, а
a dx
У
ах - хх
представляет собою дифференциал дуги GL; следовательно, если
просуммировать уравнение
dy = dx
а - х
16
И. БЕРНУЛЛИ
то мы будем иметь
у, т. е. СМ = GL - LO,
таким образом,
MO = CO-GL + LO.
Если принять во внимание, что СО равен полуокружности GLK, то
СО - GL = LK,
и мы будем иметь
MO = LK + LO, а если вычесть из обеих частей общую величину LO, то мы
получим
ML = LK,
откуда следует, что кривая КМА представляет собою циклоиду.
Остается еще показать (дабы разрешить задачу в наиболее полном объеме),
каким образом из данной верхней точки следует описать брахистохрону, т.
е. циклоиду, так, чтобы она прошла через другую данную точку. Это легче
всего выполняется следующим образом: соединим обе данные точки Ли В (рис.
2) прямой линией АВ и на горизонтальной линии AL построим произвольную
циклоиду, имеющую своим началом точку А и пересекающую прямую АВ в точке
R. После того, как это будет выполнено, следует сделать так, чтобы в том
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed