Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
между конформными преобразованиями и задачей Дирихле.
[231] Необходимо отметить, что и в настоящее время мы имеем в квантовой
механике два внутренне связанных аспекта (или представления): волновой и
матричный.
[232] Публикуемая статья П. А. Дирака Юп generalized Hamiltonian
Dynamics" была напечатана в "Canadian Journal of Mathematics", т. II, №
2, 1950, стр. 129-148.
Критический период, переживаемый современной теоретической физикой,
заставляет особенно внимательно относиться ко всем попыткам выхода за
рамки современного формализма релятивистской квантовой механики и
квантовой теории поля.
Одним из наиболее заметных дефектов ряда работ, в которых приводятся
различные уравнения, обобщающие уравнения Дирака и Максвелла, является
отсутствие адекватного математического формализма. Может быть, не будет
преувеличением сказать, что наша эпоха напоминает предньютоновский период
в физике, когда несовершенство математического аппарата сильно затрудняло
формулировку принципов динамики, физический смысл которых становился все
более ясным. В этом отношении большой интерес представляют работы
(подобные предлагаемой читателю работе одного из величайших физиков
современности П. Дирака), в которых разрабатывается аппарат, отвечающий
потребностям будущей физики.
В современной физике ведутся оживленные дискуссии о том, по каким
направлениям должно идти обобщение современных теорий. Одним из наиболее
интересных направлений являются попытки создания нелинейной квантовой
теории поля. Существуют серьезные основания полагать, что теория поля,
основанная на нелинейных уравнениях Дирака и Максвелла, будет лишена тех
органических трудностей (расходимости собственной массы и собственной
энергии элементарных частиц), которые привели к кризису современной
физики.
916
ПРИМЕЧАНИЯ
Есть основания полагать также, что нелинейное уравнение Дирака уц ^ +
дХц
+1 [v+ V1] V1 = 0 *) сможет дать спектр масс элементарных частиц, причем
уравнения всех других полей будут сводиться к этому нелинейному
уравнению. Один из наиболее серьезных аргументов в пользу нелинейного
обобщения содержится в работе Борна и Инфельда**). В этой работе авторы
исходят из лагранжиана, заданного двумя инвариантами, составленными из
компонентов антисимметричного тензора электромагнитного поля:
(?2 - Я2) = 11, (?Я)2 = /2. То, что из компонентов антисимметричного
тензора можно
составить только два фундаментальных инварианта, вытекает из того, что
тензор поля задается одним из неприводимых представлений группы Лоренца.
Инвариант 1Ъ взятый в качестве L, задает обычные уравнения Максвелла.
Борн и Инфельд показали, что полученное ими нелинейное обобщение
уравнений Максвелла лишено классических расходимостей.
Это дает основание надеяться, что и квантовый вариант нелинейной
электродинамики Борна-Инфельда будет лишен трудностей современной теории
поля.
К сожалению, квантование нелинейных уравнении также сталкивается с рядом
трудностей. Одна из них заключается в том, что нелинейная электродинамика
сформулирована в лагранжевой форме, для квантования же необходимо
исходить из формализма Гамильтона***). В предлагаемой работе Дирака
рассмотрен наиболее общий случай связи гамильтонова и лагранжева
формализмов. Автор отказывается от неявно содержащейся вг классических
формулировках принципов Лагранжа и Г амильтона предпосылки, что импульсы
- независимые функции этих скоростей. Считая, что координаты и импульсы q
и р =
9 L
= -щ связаны рядом дополнительных соотношении, автор варьирует
гамильтониан вида
Я = S3 + vm Фт, где Фт - 0 - дополнительные условия, a vm - некоторые
коэффициенты. Иными словами, в этой работе разыскивается не абсолютный, а
относительный экстремум действия. Аналогично проводятся рассуждения в
случае, если исходной точкой является гамильтониан. В этом последнем
случае автор приходит к обобщенным уравнениям Лагранжа, являющимся
своеобразным гибридом уравнений Лагранжа 1-го и 2-го рода (как известно,
уравнениями Лагранжа 1-го рода называются алгебраические уравнения,
задающие относительный экстремум потенциала).
В работе рассматриваются два типа равенств: сильные и слабые. Слабые
равенства образуют топологически незамкнутое множество, так как они
перестают удовлетворяться после варьирования. Сильные равенства образуют
замкнутое множество и задаются в "-окрестности ЗЛ'-мерного пространства
координат q, q и р, содержащей 2Л'-мерную область, в которой выполняются
слабые равенства. Следует отметить, что ряд вопросов, например вопрос о
покрытии (2N -- М)-пространства A-окрестностями и о топологии, которой
подчиняются зти окрестности, не получил в работе строгого математического
освещения.
[233] терМИн "нарушаться с точностью до..." разъяснен выше и означает,
что правая и левая .части уравнения после варьирования отличаются на
какую-то величину.
[234] это равенство известно в механике и в теории непрерывных групп как
тождество Якоби.
[азе] jo есть все детерминанты порядка выше В, составленные из строчек и
