Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
путем. В п. 172 говорится, что каждый кратчайший путь между двумя
положениями есть геодезический путь. В п. 176 указывается, что
геодезический путь есть всегда кратчайший путь между любыми двумя
достаточно близкими соседними его положениями, находящимися на конечном
удалении друг от друга. О п. 190 см. прим. 158.
[19° О п. 1/6 см. прим. 189. О п. 190 см. прим. 188.
Г191] В п. 171 определяется геодезический путь материальной системы
как любой
такой путь, длина которого между двумя любыми положениями отличается лишь
на величину, бесконечно малую высшего порядка, от длины любого другого
бесконечно близкого соседнего пути между теми же положениями. О п. 190
см. прим. 188.
[192] В п. 194 дано следствие: если система не является голономной,
то каждый геодезический путь, вообще говоря, не является в
то же время прямейшим.
[193] О п. 155 см. прим. 180.
[194] В п. 158 дифференциальные уравнения прямейшего пути материальной
системы выражаются в обобщенных координатах.
[19(r)] В п. 277 решается задача: представить компоненты ускорения /<>
системывдоль обобщенных координат через производные по времени от этих
координат.
[19*] В п. 140 говорится, что свободная координата не входит в
дифференциальные уравнения и, наоборот, всякая координата, которая не
входит в дифференциальные уравнения системы, есть свободная координата.
Свободными координатами называются такие координаты системы, изменения
которых независимы от изменений остальных координат. В п. 144
устанавливается, что в голономной системе все возможные положения можно
представить через свободные координаты.
[197] В п. 289 устанавливается, что импульсы qQ системы вдоль координаты
ре можно выразить посредством частных производных энергии системы по
скоростиям изменения ЭРЕ
координат qe - .
О ро
[19в] О п. 289 см. прим. 197- В п. 290 устанавливается, что скорости рв
могут быть представлены как частные производные энергии системы по
соответствующим импульсам. В п. 292 отмечается, что если мы изменим
координату рг дважды на одну и ту же бесконечно малую величину, сохраняя
при этом первоначальные значения в одном случае скоростей изменения
координат, а в другом случае импульсов вдоль координат, то энергия
системы получит равные и противоположные изменения.
[199] Статья О. Гёльдера (in Tubingen) "Ueber die Prinzipien von Hamilton
und Maupertuis" доложена Ф. Клейном, напечатана в <<Nachrichten von der
Кбп. Qes. der Wissen-schaften zu Gottingen", Math.-Phys. Kl. 1896, вып.
2, стр. 122-157.
[го"] Статья А. Фосса "Ueber die Prinzipien von Hamilton und Maupertuis"
доложена Ф. Клейном, напечатана в "Nachrichten von der Кбп. Ges. der
Wissenschaften zu Gottingen", Math.-Phys. Kl., 1900, стр. 822-32 .
[201] Статья П. Аппеля "Sur une forme gёnёrale des fiquations de la
dynamique et sur le principe de Gauss" (par M. P. Appell a St. Germain
sur Laye) напечатана в "Journal filr die reine und angewandte
Mathematik", т. 122, Berlin, 1900, стр. 205-208.
[202J Книга М. Планка "Acht Vorlesungen fiber theoretische Physik,
gehalten an der Columbia University in the City of New York im Frfihjahr
1909" издана в Лейпциге в 1910 г. Русский перевод вышел в том же году под
названием "Теоретическая физика". Седьмая глава этой книги носит название
: Общая динамика. Принцип наименьшего действия.
[2оз] Можно сделать попытку обозреть основные этапы развития
аналитической динамики до середины XIX в. Первым шагом явилось
установление лагранжевой формы уравнений движения, затем лагранжева
теория вариации произвольных постоянных, а также теория Пуассона.
Следующим этапом явились: во-первых, представление Гамильтоном
интегральных уравнений посредством единственной характеристической
функции, определяемой a posteriori посредством интегральных уравнений,
предполагаемых известными, или посредством условия, что она одновременно
удовлетворяет двум дифференциальным уравнениям в частных производных, и,
во-вторых, установление канонических уравнений движения. Вслед за тем
Якоби свел интегрирование дифференциальных уравнений к проблеме
нахождения полного интеграла единственного уравнения в частных
производных и дал общую теорию связи интегрирования систем обыкновенных
дифференциальных уравнений и уравнения в частных производных первого
порядка. Наконец, была разработана теория систем канонических интегралов.
Надо отметить, что дифференциальные уравнения динамики являются только
одним из классов дифференциальных уравнений, изучаемых математиками.
Якоби особенно много сделал в этой области и, в частности, изучил так
называемую изопериметрическую систему дифференциальных уравнений, т. е.
систему, возникающую при изучении любой проблемы вариационного
исчисления. Если рассмотреть общую теорию систем дифферен-
ПРИМЕЧАНИЯ
911
циальных уравнений и затем исследовать обобщенную гамильтонову систему
как частный случай этой теории, то можно показать, что обобщенная
лагранжева форма диффе ренциальных уравнений динамики может быть
