Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
вариационного принципа, аналогично тому, как уравнения механики выводятся
из принципа наименьшего действия. Потребуем стационарности интеграла
j'1 (Жм - Жэл) dt,
где WM и 1Гэл - соответственно магнитная и электрическая энергии, a L =
W* - ИЛэл при условии, что выполняются уравнения
dive.E = 4jtp, rot Н = еЕ +4nj (j - р v).
(О)
Предположим, что на бесконечности поля и их вариации обращаются в нуль и
что интервал времени остается наименьшим. Тогда
g1- j J 2' Hi дHt - во 2 EiЙЕ, | dr dt = 0.
(A)
Теперь необходимо допустить существование зависимости между Е и Н, потому
что в противном случае из (А) нельзя было бы ничего вывести. Тогда
д div е Е = 0 , <5 |Vot Н (г0 E)j = 0 . (В)
Умножим теперь четыре соотношения (В) на произвольные множители <р, - Ах,
-. Ау, - Аг и объединим их с (А):
j' f' ki1 Hi dHi - Sq v Et SEi ¦+ s0 rp d x/ _ r v I i 0X1
- 4 * i* -m -
ПРИМЕЧАНИЯ 907
<м ' !¦ (D)
I
Проинтегрируем по частям каждый из прибавленных членов следующим образом:
б
Г J д -^г~ dx) dy dz dt = \ \ <p 8EX dy dzdt - f f J 6EX dx dy dz dt.
(C)
т f"
Здесь первый интеграл равен нулю, так как интегрирование производится по
беско" нечно удаленной поверхности, а дЕх равно нулю на бесконечности.
Аналогично, например,
л ддНх вАх
Ах -л - даст - дHz
ду ду
Л ddEx , 3 Ах
л- дасг - ,>/- , г
и т. п.
Поэтому из (С) получим:
| J ф + grad <р + dE -f- (fi0 Н - rot .4) <57/j drc dt = 0.
Это условие должно удовлетворяться для произвольной вариации дЕ
и SU и, следо-
вательно,
дА
Е = - grad гр - fi0 И = rot А .
Таким образом, векторы Е и Н удовлетворяют уравнениям Максвелла, и
следовательно, мы доказали, что уравнения (О) вместе с вариационным
принципом в форме 8 С (1Тм- 1Тэл) di - 0 эквивалентны четырем уравнениям
Максвелла (О) и (D).
[166 j формулы (ld): Ра = - s = - U = Н - v см. Н. Helmholtz,
дра др др
Studien zur statik monocyclischer systeme I, Sitzungsber. d. Akad. d.
Wiss. zu Berlin, 1884, стр. 159-177 ; Wiss. Abh., т. 3, 1895, стр. 119 и
сл.
["в] Статья "Ueber den Mittelwert des kinetischen Potentials" впервые
напечатана в Записках Математического отделения Новороссийского общества
естествоиспытателей( т. 8, 1888, на немецком языке (см. Н. Е. Жуковский,
Собр. соч., т. 1, ГТТИ, 1948 стр. 207).
[167] Настоящий отрывок представляет собой § 75 книги Н. Helmholtz, Vor-
lesungen fiber die Dynamik diskreter Massenpunkte, Leipzig, 1911, стр.
356-361; изд. 1-е вышло в 1898 г. Эта книга является 1-м томом
"Vorlesungen fiber theoretische Physik" Гельмгольца.
[I6"] Второй отдел четвертой части (стр. 303-318) посвящен принципам
движения, а именно принципу Д'Аламбера, принципу Гамильтона и лагранжевым
уравнениям движения 2-го рода.
[169] в §60 рассматривается принцип возможных перемещений; в §65 -
лагранжевы уравнения движения 2-го рода.
Уравнение (Ь) п. 154 имеет вид
в (-Ф+ Д'ХвХО) = 0, а
где ха - координаты п-й массы, Ф - потенциальная энергия, Х'а -
компоненты результирующей внешних сил по направлению координатных осей.
Написанное уравнение есть обобщение условия равновесия консервативной
системы дФ = 0.
[1во] уравнение (а) п. 153 дает условие равновесия консервативной системы
дФ = 0.
[lei] Публикуемые отрывки взяты из книги: L. Boltzmann, Vorlesungen fiber
die Prinzipe der Mechanik, II часть, § 35, стр. 135-139 и §§ 42-54, стр.
162-211, Leipzig 1922. Вторая часть этой книги была опубликована в 1904
г. Она посвящена принципу действия, лагранжевым уравнениям и их
применениям. Предисловие Больцмана к этой книге имеет следующий эпиграф :
, Erst hab'ich die Motto aus Goethe gewahlt,
Dann selber eines zusammengestellt;
Nun las ich die Dichtungen Heines Doch Motto fand ich drin keines.
[168] ((Принципом стационарного действия" Больцман называет принцип
Гамильтона.
908
ПРИМЕЧАНИЯ
[1вз] Больцман ссылается на свою статью "Ueber die Unentbehrlichkeit der
Ato-mistik in der Naturwissenschaft", Wied. Ann. Phys., т. 60, 1897.
[1в4] реономные системы - системы, подчиненные переменным связям. В
случае постоянных связей мы имеем дело с системой склерономной. Для
склерономных систем лагранжевы уравнения движения допускают первый
интеграл в форме
2 Pi 4i - L = Е ,
который может быть интерпретирован как закон сохранения энергии, если мы
определим левую часть этого уравнения как полную энергию системы. Для
обычных задач динамики 2 PiQs есть удвоенная кинетическая энергия. В этом
случае получаем Т + V - Е.
[186] § 41 посвящен рассмотрению примера с ортогональной вариацией. В
этом случае при условии варьирования энергии имеет место уравнение
где Т --- . - Г Т dt - средняя кинетическая энергия, а Е-полная энергия.
Для срав-'1 'о j
ниваемых движений берутся последовательно движения, отличающиеся на дEt.
В качестве нижней границы для каждого последующего интеграла выбирается
то время, когда точка на варьированной траектории проходит плоскость,
перпендикулярную к мгновенному направлению движения точки на
предшествующей траектории в момент, который также является верхним
