Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
Статья Остроградского очень трудна и изобилует опечатками, которые мной
по возможности исправлены.
[142] j-ja СТр зз0 и сл Остроградский делает несколько замечаний по
поводу той части "Аналитической механики", в которой Лагранж выводит
уравнение движения механики из принципа наименьшего действия в связи с
принципом живых сил. Остроградский считает ход рассуждений Лагранжа
неточным (стр. 336). Он основывает свои возражения на том, что на
основании уравнения живых сил существует зависимость между некоторыми
вариациями, которые Лагранж считает независимыми.
[143] р|а СТр 472-480 Остроградский прилагает свою общую теорию к
некоторым примерам. Он опускает дальнейшие примеры, так как, по его
словам, обнаружил, что можно обобщить и упростить эти приложения; работы
об этом он не опубликовал.
[144] Важное значение этой работы Остроградского состоит также в
следующем.
Обычные проблемы механики приводят к лагранжианам, которые не содержат
производных выше, чем первые. В общем же случае вариационной проблемы в
подынтегральной величине могут быть производные п-го порядка. Однако и
такая задача может быть приведена к нормальному виду с помощью
канонических интегралов, так что канонические уравнения Гамильтона, как
показал Остроградский, могут рассматриваться как нормальная форма, в
которую могут быть преобразованы дифференциальные уравнения, возникающие
при рассмотрении вариационной проблемы; это преобразование требует только
дифференцирований и исключений.
[146] Помещаемая статья Ф. А. Слудского впервые опубликована в
Математическом сборнике, издававшемся Моск. матем. обществом, т. 4, вып.
3, Москва, 1870, стр. 225-230.
[14в] Помещаемая статья О. И. Сомова впервые опубликована в
Математическом сборнике, издававшемся Моск. матем. обществом, т. 5, вып.
4, Москва, 1872, стр. 303-322.
[147] Статья "Die Storungstheorie und die BerUhrungstransformationen"
была напечатана в Arch, for Math., т. 2, вып. 2, Kristiania, 1877, стр.
129-156 ; перепечатана в книге: Sophus Lie, Gesammelte Abhandlungen,
Leipzig-Oslo, 1922, в первой части 3-го тома, в которой помещены
"Abhandlungen zur Theorie der Differentialgleichungen", стр. 295-317.
Для работы Софуса Ли характерно глубокое развитие понятия непрерывной
группы. Первоначально понятие непрерывной (топологической) группы
возникло в связи с рассмотрением групп непрерывных преобразований.
Такая группа представляет с логической точки зрения соединение двух
основных математических понятий - группы и топологического пространства.
Если при рассмотрении группы мы изучаем в наиболее чистом виде
алгебраическую операцию умножения, то при изучении топологического
пространства изучаем операцию предельного перехода.
В непрерывной группе объединены обе зти операции. Группа Ли является
конкретным понятием теории топологических групп, в котором уже в
определении заключено условие дифференцируемости функций, дающих операцию
перемножения элементов группы.
Ли подробно изучил такие непрерывные группы преобразований. Элементом
непрерывной группы является преобразование, переводящее каждую точку п-
мерного пространства в другую такую же точку. Таким образом, каждое
преобразование задается системой п функций от п переменных
x'i = и (х1( х2, Хп) = 1, 2, ..., п).
Различные элементы группы отличаются значениями параметров, входящих в
функции, выражающие преобразование:
xi = fi (Xi, х2, ..., хп ; flj, а.2, аг).
906
ПРИМЕЧАНИЯ
Существенным свойством группы является то, что два преобразования,
последовательно проделанных над пространством, равносильны одному
преобразованию той же группы.
Оказалось, что вопрос об интегрируемости дифференциальных уравнений в
квадратурах связан с вопросом о структуре группы преобразований, которые
не изменяют данного уравнения. Для того чтобы уравнение интегрировалось в
квадратурах, необходимо и достаточно, чтобы эта группа обладала особыми
структурными свойствами, принадлежала к числу так называемых
интегрируемых (или разрешимых) групп.
[ш] Софус Ли везде обозначает частную производную через d; мы везде
заменили это обозначение на Э.
[ш] В подлиннике в этом выражении опущен член (F, Р,).
[iso] Статья <0 начале наименьшего действия" была доложена Московскому
математическому обществу 1/III 1879 г. и впервые напечатана в Матем. сб.,
т. IX, 1879; перепечатана в Собр. соч. Н. Е. Жуковского, т. I, Общая
механика, математика, астрономия, ОГИЗ, М.-Л., 1948, стр. 51-57. .
[ш] Статья " l. eber die physikalische Bedeutung des Prinzips der
kleinsten Wirkung" опубликована впервые в "Borchardt-Crelle Journal far
Mathematik", т. 100, 1886, стр. 137- 166 и 213-222; перепечатана в
"Wissenschaftliche Abhandlungen von H. v. Helmholtz", т. 3, Leipzig,
1895, стр. 203-248.
[162] указанные Гельмгольцем работы Мопертюи и Гамильтона см. стр. 23,
41, 175 настоящей книги.
[Хбз] ((Гальваническое сопротивление" по современной терминологии
"сопротивление постоянному току".
[164] Как известно, уравнения электродинамики могут быть выведены из
