Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 439

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 433 434 435 436 437 438 < 439 > 440 441 442 443 444 445 .. 461 >> Следующая

действия Якоби является лишь частным случаем этого закона, - выведен А.
Майером (А. Mayer, Der Satz der Variationsrechnung, welcher dem Prinzipe
der kleinsten Wirkung in der Mecha-nik entspricht, Math. Ann., т. 2,
1564, стр. 143-149).
рз"] цт0 интеграл J Т dt есть действительный минимум -это для динамики не
име* существенного значения.
Здесь требуется только, чтобы
д j' Т dt = 0.
Об исследованиях знака второй вариации, представляющих лишь чисто
математический интерес, то есть о доказательстве, что здесь речь идет
действительно только о минимуме для достаточно малых интервалов, см. J.
A. S е г г е t, Comptes Rendus, т. LXV, 1871, стр. 697 или Bull. d. Sc.
Math., т. II, 1871, стр. 97; Q. D a r b о u x, Lemons sur la Шёопе
gёnёrale des surfaces, т. II, Париж, 1896, стр. 480; Д. Бобылев,
Приложение к LXI тому Записок Академии наук, № 5, СПб., 1889.
Данный Раусом вывод предложения, что при действительных движениях V
всегда будет минимум, поскольку V может постоянно увеличиваться, а Т
никогда не может быть отрицательным, содержит ту же ошибку, что и старые
доказательства так называемого принципа Дирихле.
[18в] То есть предложенный Д'Аламбером принцип в вариационной форме при
предположении существования силовой функции U.
904
ПРИМЕЧАНИЯ
[140] Вариационное исчисление устанавливает эквивалентность интеграла
вида д j L dt = 0 и группы дифференциальных уравнений. Этот метод
приложим в том случае, когда дана функция трех переменных / и требуется
определить кривую х - x(t) такую,
что вариация, возникающая при переходе от интеграла
ВЗЯТОГО ПО Этой
кривой, к интегралу, взятому по соседней кривой, равна нулю. Искомая
кривая предполагается проходящей через две закрепленные точки (xlt tt),
(х2, t2), и интеграл берется между этими двумя точками.
Необходимое и достаточное условие того, чтобы кривая обладала этим
вариационным свойством, состоит в том чтобы она удовлетворяла
дифференциальному уравнению
'-I""-
(1)
Пусть, далее, имеем несколько зависимых переменных х, у,... и функцию /
от х, у,...
dx dv
¦ ¦ ¦, ^ t... , t, пусть также даны две закрепленные точки (х,, у,,...,
/,), (х2, у2,..., t2), и
мы должны подчинить интеграл j / dt, взятый между этими точками,
вариационному условию. Уравнения кривой будут иметь вид
_8/_
дх
°f
ду
= 0.
(А)
Если мы имеем несколько независимых переменных и несколько зависимых
переменных х, у,..., то вопрос несколько усложняется. Исходя из функции
дх
~ds'
дх
~Э7

0S
9 У dt
¦ •• , s, t . ,.j ,
мы ставим перед собой задачу отыскать функции
x = x(s,t, ...), y = y(s,t,
для которых интеграл
J/ (х>У' ¦¦¦>
дх
ds
дх "ЭГ
ду_
05
Эу
dt
ds dt
стационарен по отношению к малым изменениям х, у,... Интеграл берется по
закрепленной области независимых переменных, а значения зависимых
переменных на границах области рассматриваются как фиксированные.
Дифференциальные уравнения этой проблемы будут иметь вид
0^
05
3
05
If
+
9/
г +
_0_
dt
_э_
dt
э/
•(t)j
9/
Ht)
+
д±
dx
_Э/_

о,
= 0.
(В>
Для принципа Гамильтона уравнения (А), которые являются условиями
стационарности интеграла J L dt, представляют собой уравнения Лагранжа
движения системы.
Уравнения Эйлера-Лагранжа (1) выражают необходимые условия стационарности
некоторого интеграла относительно вариации переменных, входящих в его
подынтегральную функцию. Если интеграл является инвариантом относительно
преобразования координат, то соответствующие уравнения Эйлера-Лагранжа
выражают условия, которые не могут зависеть от выбора координат, иначе
говоря, уравнения Эйлера-Лагранжа являются ковариантными
дифференциальными уравнениями.
[ш] Работа М. В. Остроградского "Мётопе sur les ёциаЛопв сНЛёгепЛеИез
relatives aux problemes des 18орёпт№е8" была прочитана на заседании
Российской Академии наук 29 ноября 1848 г. и опубликована в <<M6moires de
РАсабёпйе Imp6riale des Sciences
ПРИМЕЧАНИЯ
905
de Saint-Petersbourg", VI'"" эёпе, sciences math6matiques, physiques et
naturelles, т. VI, premiere partie: sciences math6matiques et physiques,
т. IV, Saint-P6tersbourg, 1850, стр. 385-517.
Предположим, что V есть функция независимых переменных хп и /, примем х"
представляют собой функции t и производных этих функций по времени.
Предположим, далее, что V включает производные каждой из хп до п-го
порядка. Если fj V dt должен быть максимумом или минимумом, то й j' V dt
= 0. Это приводит согласно правилам вариационного исчисления к т
дифференциальным уравнениям, каждое из которых порядка 2п. Остроградский
показал, что зти дифференциальные уравнения эквивалентны некоторой группе
2тп уравнений в частных производных первого порядка. Значительно позже, в
1858 г., это же показал Клебш в работе "On those problems in the Calculus
of Variations which involve only one independent variable" (Crelle
Mathematical Journal, т. 55, 1858, стр. 335-355).
Далее Остроградский подробно рассматривает вопрос об интегрировании этих
последних уравнений и о некоторых их замечательных свойствах.
Предыдущая << 1 .. 433 434 435 436 437 438 < 439 > 440 441 442 443 444 445 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed