Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 438

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 432 433 434 435 436 437 < 438 > 439 440 441 442 443 444 .. 461 >> Следующая

Лотнера, Берлин, 1884. Русский перевод вышел в 1936 г. под ред. Н. С.
Кошлякова в издании ОНТИ под названием "Лекции по динамике". Публикуемые
тексты взяты из этого издания. Перевод выполнен О. А. Полосухиной. Якоби
рассматривает "принцип наименьшего действия" в шестой, седьмой, восьмой и
частично в следующих лекциях.
Первое опубликованное сообщение Якоби о его форме принципа наименьшего
действия
<5 J У2(й+Т) уmi ds[ = 0'
содержится в его "Note sur l'int6gration des Equations difffrentielles
dela dynamique" (Comptes Rendus, т. V, 1837, стр. 61-67; J а с о b i С.,
Ges. Werke, т. IV, стр. 129-136, ср. особенно стр. 132-134). См. также
стр. 2->9 настоящей книги.
Форма, которую придал Якоби принципу наименьшего действия, выражает собой
тот факт, что траектория консервативной, склерономной, голономной системы
является геодезической линией в многообразии конфигураций с линейным
элементом действия. Уравнения движения будут иметь, следовательно, вид
Исследование движения консервативной системы с линейным элементом
действия содержит в себе глубокое сходство с изучением движения
соответствующей системы с кинематическим элементом, не находящимся под
воздействием сил, так как траектория, соответствующая движению без
воздействия, сил, представляет собой геодезическую линию кинематического
линейного элемента.
Именно принцип Якоби вошел во многие учебники XIX в. как единственная
форма принципа наименьшего действия, например G. Darboux, Lecons sur la
Шёопе g?n6-rale des surfaces, т. II, Париж, 1889, стр. 491-500; P. Ap
pell, Trait? de m?canique rationnelle, изд. 2-е, т. II, Париж, 1904, стр.
425-429; G. A. M a g g i, Principii della theoria mathematica del
movimento dei corpi, Милан, 1896, стр. 394-396.
[134] To есть законы сохранения центра тяжести, площадей и живой силы.
[135] о понятии вариации. Значение функции у = ср (х) может изменяться
при возрастании dx (ради краткости мы пользуемся здесь обозначением
дифференциального исчисления), независимой переменной х, так что
дифференциал dy будет;
ПРИМЕЧАНИЯ
903
Значение у может также изменяться без изменения х благодаря вариации
формы функции ср (т. е. от <р(х) до
4>i (х) = <Р (х) + ? <р (х), где <р(х) есть любая функция, а е -
бесконечно малое положительное число); таким образом, мы приходим к
вариации ду, то есть
ду = ?>1 (х) - <р (х).
Обозначение "вариация" целесообразно будет ограничить лишь изменением
формы <у, так что в целом изменение Dy для у будет:
Dy = dy -f- ду.
Мы имеем дх = 0, то есть независимая переменная не варьируется, но и не
является неизменной, и к тому же еще
^ dny _ dndy ~dxF- dxn '
Тем не менее, Лагранж ("Oeuvres", т. I, стр. 337,345) варьировал также и
независимые переменные и, основываясь частично на этом, считал свой метод
более общим, чем метод Эйлера. Изложение Лагранжем основ вариационного
исчисления кажется недостаточно понятным, однако несомненно, что в
принципе наименьшего действия он считает t переменным.
Другие математики в основном приняли то понятие вариации, которое дано
Эйлером в его более поздней статье о методе Лагранжа. Это понятие
заключается в следующем: "вариация" функции имеет место, когда
заключенные в ней параметры претерпевают изменение. Якоби в своих
"Лекциях по динамике", например, утверждает что вариация dq,, заключает в
себе лишь те изменения qv, которые проистекают от изменений содержащихся
в qv произвольных постоянных. В соответствии с этим он делает вывод, что
независимые переменные не варьируются, так что dt = 0. Ср. подобные
взгляды на природу "вариации" <р{х) Эйлера, Лагранжа, Лакруа, Г. В.
Штрауха, М. Ома, Коши и Штегмана, изложенные в книге: J. Todhunter, A
History of the Progress of the Calculus of Variations during the
Nineteenth Century, Кембридж и Лондон, 1861, стр. 2, 8, 11, 13, 17, 20,
31, 377, 378, 402, 413, 480, 481.
А. Майер (1877 г.) присоединился к точке зрения Якоби, что dt = 0.
Поскольку Лагранж не отбрасывает t, то Майер считает, что принцип
Лагранжа не имеет смысла и что Лагранж имел в виду то, что составляет так
называемый принцип Гамильтона:
d$(T + U)dt = 0.
Такое предположение было уже ранее высказано М. В. Остроградским ("Мемуар
о дифференциальных уравнениях проблемы изопериметров", Мёт. de l'Acad. de
St.-P6tersb., вёг. 6, Sc. Math, et Phys., т. IV, 1850, стр. 385-517.
Читано 29 ноября 1848 г. Этот том - 4-й по матем. и физич. наукам и 6-й
по матем., физич. и естественным наукам. Ср. Т о д-гунтер, указ. соч.,
стр. 350-352, 482-483. См. стр. 315 настоящей книги), а также Ф. А.
Слудский, Nouv. Ann. de Math. (2), т. XVIII, 1879, стр. 193-200. Об этих
работах и о работах Родригеса, Рауса, Гельмгольца, Рети, Гёльдера и
Журдена, которые установили основное различие между принципом наименьшего
действия и принципом Гамильтона, см. Е. В. J о u г d a i n, Math. Ann.,
т. LXV, 1908, стр. 513-517.
[13в] Здесь U имеет то же значение, что у Родригеса V, а у Лагранжа П.
[137] Общий закон вариационного исчисления, - принцип наименьшего
Предыдущая << 1 .. 432 433 434 435 436 437 < 438 > 439 440 441 442 443 444 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed