Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
Если мы возьмем частную производную от (10) по хг, то получим :
92/ J9H_ Ш 92/ =
9х,- dt дхг dps ' 9хг 9xs
Отсюда
_ ЭЯ dt ~ дхг
ПРИМЕЧАНИЯ
901
Мы, следовательно, подтвердили, что (8) есть общее решение уравнений
движения, так как оно содержит требуемое число произвольных постоянных.
Оно описывает все свободные движения, проходящие через конфигурацию х? в
момент времени t°.
Теперь гамильтонова главная функция определена как интеграл
К'" Эр,
Рг 4г" - н \ dt
рассмотренный вдоль естественного движения, проходящего через
конфигурации хг, х" в соответствующие моменты времени /, t°, и выраженный
с помощью начальных и конечных переменных х?, t° и xr, t.
Это естественное движение определяется уравнением (8) для соответствующих
значений постоянных аг или эквивалентными уравнениями (5) и (7).
Мы имеем, следовательно,
-4" -1(* ¦Т -н) - J (ж Т + т) "-"*¦''" Нх'",v"> <':г>
t" Р
и выражаем интеграл через xr, t и х?, ?°, исключая а при помощи уравнения
(5). Это в точности соответствует определению S (х, t, х°, t°), и мы,
таким образом, отождествили интеграл Гамильтона с гамильтоновой главной
функцией.
Если / (х, t, а) + a.v+i есть полный интеграл гамильтонова уравнения в
частных производных, то гамильтонова главная функция получается путем
исключения аг из уравнений
S = f(x,t,a) - f(x°,t",a), (13)
Э/ (х, t, а) _ Э/ (х°, t°, а) даг да г
Чтобы найти геометрическую интерпретацию такого построения гамильтоновой
главной функции, рассмотрим пространство N + 2 измерений с
координатами xr, t, V.
В этом многообразии уравнение V = V(xr, t) представляет
гиперповерхность, и если
V удовлетворяет уравнению в частных производных (2), мы называем ее
интегральной
гиперповерхностью.
Если /(х, t, а) + on+i есть полный интеграл (2), то V = /(х, t, а) + аы+i
есть семейство интегральных гиперповерхностей, зависящих от IV + 1
параметров аъ..ay+i. Выберем из этого семейства интегральные
гиперповерхности, проходящие через точку (х?, *°, 0). Условием этого
является
/ (х°, t°, а) + aN+1 = 0 ,
и новое семейство будет иметь вид
V = / (х, t, а) - / (х°, t°, а) (14)
и зависеть от N параметров. Огибающая этого семейства определяется путем
исключения а из уравнения (14) и N уравнений
9/ Э/о п
8аЛ Эа,
Но это исключение приводит к гиперповерхности
V = S (х, t, х°, t°). (15)
Мы, следовательно, доказали следующую известную теорему:
Если S (х, t, х°, t°) есть гамильтонова главная функция, то
гиперповерхность
V = S (х, t, х°, ?°) есть огибающия N-связного бесконечного
семейства интегральных
гиперповерхностей гамильтонова уравнения в частных производных, которые
все проходят через точку (х°, /°, 0).
[1з°] Статья С. G. J. Jacobi "Note sur Г integration des equations
diff6rentielles de la dynamique>> опубликована впервые в "Comptes
Rendus", т. V, 1837, стр. 61-67; перепечатана в книге : С. G. J.
Jacobi, Gesammelte Werke, Berlin, 1886, т. IV,
стр. 130-136.
902
ПРИМЕЧАНИЯ
[ш] Для голономной системы со связями, независимыми от времени, вводим
пространство п измерений, в котором величины q представляют самые общие
координаты. В этом пространстве условно определим линейный элемент ds:
ds* = 2 а"к dqn dqk, (1)
П = 1 * = 1
где ank суть такие функции от q, конечные и непрерывные вместе со своими
первыми и вторыми производными, что квадратичная форма в правой части
будет положительной. Пространство, для которого установлено
мероопределение (1), называется, как известно, метри еским многообразием.
Воспользовавшись соотношением, имеющим место для физического пространства
ds2 = 2Т dt2, мы можем ввести его вообще для изображающего пространства
конфигураций. Тогда кривая в этом пространстве, соединяющая две конечные
конфигурации системы и в случае одной точки тождественная с
соответствующей траекторией в физическом пространстве, называется
динамической траекторией.
Динамическая траектория естественного движения между конечными
конфигурациями при заданном значении энергии будет некоторой кривой
метрического многообразия, для которой криволинейный интеграл А = [ У 2
(U + Е) ds имеет стационарное (или минимальное, если обе конфигурации
достаточно близки) значение. Обратная теорема также имеет место.
[132] Статья "Sur un nouveau principe de la m?canique analytique"
опубликована в "Comptes Rendus de l'Acad?mie des Sciences de Paris", т.
XV, 1842, стр. 202-205 и помещена в 4-м томе "Gesammelte Werke", Berlin,
1886, стр. 291-294.
Эта статья в основном представляет собой краткое изложение относящихся к
динамической проблеме результатов, полученных Якоби в его большой работе
"Theoria novi multiplicatoris systemati aequationum differentialum
vulgarium applicandi".
[133] Лекции по динамике (прочитанные в зимнмй семестр 1842/43 г.) К. Г.
Якоби были записаны Борхардтом и впервые изданы Клебшем в 1866 г. в
Берлине под названием "Vorlesungen fiber Dynamik", а затем помещены во
втором исправленном издании Jacobi С., Gesammelte Werke, Suppl., изд. Э.
