Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
выраженное через к, явно содержало t, то оно не оставалось бы постоянным
во время невозмущенного движения, что противоречило бы (D1).
[109] Взяв t = 0 в (70), мы получаем Ф, (0, %,..., езп, р"..., рзп) = 0
для всех значений ей р. Отсюда следует (71).
[110] С и Е представляют собой производящие функции для контактных
преобразований от р, е к А, к.
[in] Метод рассуждения здесь такой же, как при выводе уравнения (D).
[из] с = ? пс1 - ер) - Е .
дС / QC \
[113] Эти уравнения в частных производных имеют вид - + Н2 If, , А| = О,
[in] vers обозначает функцию (1 - cos <р).
[116] Приближение S2 (136) представляет собой решение уравнения в частных
производных
SS2 dS, SS2 SS, SS2 SS, SS2 _
dt di], dr], dri2 dr]2 дщ дщ
ПРИМЕЧАНИЯ
897
Это должен быть полный интеграл, имеющий произвольные постоянные в1( е2,
ез и аДДи_ тивную постоянную. Метод, применяемый Гамильтоном в подобных
случаях, состоит в следующем. Значение S2 находится посредством
интегрирования вдоль пути:
SS SS &S
, р2 = - , Рз = -Je- ¦ Тогда S2 является функцией t, еъ е2,
е3, plt р2, р3.
* 2 <55
Если мы заменим р, через - и т. д., то S2 будет теперь удовлетворять
уравнению в частных производных ввиду того, что часть, возникающая при
дифференцировании р, исчезает благодаря соотношениям вида
dp dS3 д р <55t dp <55t <5 р =
<51 Stj1 <5щ дг\2 <5% дщ дщ
[п6] S, и S2 строго определяются посредством
• = - Я2 . (ii)
dt
952 9Sx 9S2
9S3
dt
мы сразу видим, что сумма трех уравнений (i), (ii), (iii) дает :
bS 1 " ( 9S )2
91 + ~2
dt ~ дщ др3
В (143) -^-r означает , где S = S, + S2 + S:!, и таким образом пре-
' ' dt Ы дщдщ
вращается в
95^ + _vf.9M2=0. (iii)
+ дщ + дщ + дщ j дщ + 2 - [дщ j 2 - { дщ ) ' (
>
нений (i), (ii),
[117] Если мы в правой части (150) и (151) подставим еи е2, е3, р1( р2,
р3 вместо ки к.г, к.,, 7.,, Я2, Я3 в качестве первого приближения, то
интегрирование дает:
*i = "1 + 2 ^ ^ (ei + у Л *) ' Я1 = Pi " <"2 f (ei + Y Pi *) •
Если же мы подставим эти значения в те же уравнения с последующим
интегрированием, то получим уравнение (162).
V т t
[118] х" = Х//---------- и т. д.
[119] Под центробарической скоростью понимается скорость относительно
среднего центра:
xi - xn = (x'i - х") + (х' - Хц) = й - У, in S'/У т = х'"<.
[12°] Историю обозначения обратных тригонометрических функций см. С a j о
г у, History of Mathematical Notations, т. II, стр. 275-278.
СЮг W о
[ш] берется из формы ---- , где у> остается ограниченной;
следовательно,
(А ^-берется из формы - , где / ограничено в интервале интегриро-
\ г q?) dp J r - q
вания. Отсюда следует, что
9 Г ( к к \ а . "
-^ \вг dr -> 0 , когда г ^>q .
q J
dp J (г*
я
[i22] пусть f = г cos / cos Ф, р = r cos / sin Ф ; f = r sin l, а главная
функция S удовлетворяет уравнению
QS М + т
~Ы Н 2 М~
57 Вариационные принципы механики
ПРИМЕЧАНИЯ
Полный интеграл Якоби может быть представлен в форме
S = -#.< + (* -Я)Ф + J |di-
ces* I
Г л
+
м
М + т
2/i + 2M-f(r) - ^1 + dr + const,
- V
. , _ dS OS
где Л, Я, ^ - произвольные постоянные. Далее мы легко получим -^-г- = ш,
у
OK ОА
Э 5
= - т. Следовательно, по теореме Донкина (см. R о u t h, Advanced Rigid
Dynamics, II, 496) (к, - со), (A, v), (ji, т) образуют каноническую
группу констант и, следовательно, соотношения (R2) имеют место.
[123] Чтобы вывести (213) из §§ 13, 14, нужно иметь в виду следующее. Мы
имеем (так как Н, остается константой невозмущенного движения):
йН, _ ЭН, дщ dki у 9Н, dcds dki _ v f <jr/s _l 1 9Я,_
dt дщ dki dt dais dki dt ~ [ дщ dki dcds dki J ^ dkj
V , 8Я1 9cosl I dki dkj _ dki dkj \ dH2 =
^ [ дщ dki dais dki j l. дщ dart d'ait дщ J dkj
dHs Г дН, ( дщ dkj dkj дщ dkj dkj j
dkj [ drjs ( dki дщ dait dki 9cot дщ |
9H, ( dais dkt dkj dms dkj dkj 1|
dais j dkt дщ dait dki dart дщ '
^ 8щ dki x ^ дщ dki n ^ dms dki n ^ dcds dki x _ x
НО Д -^rz-------~------ - Ost , ^ -pr.-q- - 0, _2 ~7T,--Q = о , "7Гz-
7T-Z. Ost , ГДС Off
dkt дщ ~ dki dart dkt дщ ^ dkt dart
равно 1 или нулю соответственно тому, s равно или не равно t.
[1М] Чтобы вывести (V2) из (Q2), рассмотрим выражение
(r]Z' - ? у')2 + (? х' - ? z')* = к* - (к - А)2 = (2 к А - А2),
имеем
ry z' - ? у' - У2 к А - A2 sin г, ? z' - ? х' = }г2к Л - A2 cos г;
следовательно,
}г2кА - А2 (? sin г - j? cos г) + (/с - А) ? = ^ ? (j? z' - ? у') = 0 ,
то есть
Л-А .
? sin г - г) cos г = - - С
У2ЛА-А2
и
+ j?2 = г* - J2 .
Следовательно,
? cos г + j? sin v - [г2 - ?2 - ,}кк ?2]* = (г2 - ^kl^f *
/с С
Из (W2) и (Q2) мы видим, что -. - = г sin (в - г), и поэтому
г 2 к А - А2
? sin v - г? cos г = ^-1 ~j г sin (в - v), ? cos v + j?sin v = r cos (0 -
v),
откуда следует немедленно (V2).
[126] Две статьи М. НоиёГа, представленные в Faculty des Sciences de
Paris (1885), довольно интересны.
В первой он использует главную функцию, чтобы доказать различные
известные теоремы относительно планетных возмущений, а во второй
применяет этот метод для тщательных вычислений возмущений Юпитера. Полная
